重难点突破01 圆中的范围与最值问题（八大题型）（原卷版）

重难点突破01圆中的范围与最值问题目录1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如axby的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如byaxt的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(byaxm的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题题型一：斜率型例1．（2023·江苏·高二专题练习）已知点,Pxy在圆22113xy上运动，则43yx的最大值为（）A．630B．630C．630D．630例2．（多选题）（2023·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点Pxy，在圆22(1)1xy上运动，则下列选项正确的是（）A．12yx的最大值为13，最小值为1;3B．12yx的最大值为33，最小值为33；C．2xy的最大值为15，最小值为15；D．2xy的最大值为25，最小值为25；例3．（2023·全国·高三专题练习）已知,Pmn为圆C：22111xy上任意一点，则11nm的最大值为.变式1．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知,Mxy为圆C：22414450xyxy上任意一点，且点2,3Q．（1）求MQ的最大值和最小值．（2）求32yx的最大值和最小值．（3）求yx的最大值和最小值．题型二：直线型例4．（2023·全国·高三专题练习）点(,)Pxy是圆2212xy上的动点，则xy的最大值是.例5．（2023·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点(,)Pxy是圆2264120xyxy上的动点，则xy的最大值为（）A．52B．52C．6D．5例6．（2023·全国·高三专题练习）已知点,Pxy是圆C：2230xaya上的一动点，若圆C经过点1,2A，则yx的最大值与最小值之和为（）A．4B．26C．4D．26题型三：距离型例7．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A,B的距离之比为（0，且1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A,B间的距离为2，动点P满足3PAPB，则22PAPB的最大值为例8．（2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知M为圆22414450：Cxyxy上任意一点，且2,3Q．(1)求MQ的最大值和最小值；(2)若,Mmn，求231mn的最大值和最小值；(3)若,Mmn，求2246mnmn的最大值和最小值．例9．（2023·高一课时练习）已知点Pxy，在直线10xy＝上运动，求2211xy－－的最小值及取得最小值时点P的坐标．变式2．（2023·高二课时练习）已知点Pxy，在直线10xy＝上运动，则2211xy－－取得最小值时点P的坐标为．变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知(,)Mmn为圆224440Cxyxy：上任意一点．则22(1)(1)mn的最大值为变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b，c，满足R,x14axbab，2,4aab，26acbc，则ac的最小值为（）A．1B．263C．3D．622变式5．（2023·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点(1,1),A(1,3),B(2,1)C，点P在圆221xy上运动，则222||||2||PAPBPC的最大值为（）A．22B．26C．30D．32题型四：周长面积型例10．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点1,0A，0,2B，点P是圆2211xy上任意一点，则PAB面积的最大值为，最小值为.例11．（2023·全国·高二专题练习）已知圆22:(2)(6)4Cxy，点M为直线:80lxy上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形CAMB周长的最小值为（）A．8B．62C．52D．242例12．（2023·全国·模拟预测）已知直线l：1yx与圆E：222210xyxy相交于不同两点A，C，位于直线l异侧两点B，D都在圆E上运动，则四边形ABCD面积的最大值为（）A．30B．230C．51D．251变式6．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆C的方程为222xy，点P是直线250xy上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为变式7．（2023·高二课时练习）已知0,2A，2,0B，点P为圆2228130xyxy上任意一点，则PAB面积的最大值为（）A．5B．522C．52D．522题型五：数量积型例13．（2023·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点M为椭圆2211615xy上任意一点，,AB是圆22(1)1xy上两点，且2AB，则MAMB的最大值是.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线:2lyxa与圆222:0Cxayrr相切于点01,My，设直线l与x轴的交点为A，点P为圆C上的动点，则PAPM的最大值为．例15．（2023·江苏南京·高一校考期中）已知点1,0,1,0AB，点P为圆22:68170Cxyxy上的动点，则ABAP的最大值为.变式8．（2023·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则APAB的取值范围是（）．A．4,20B．1,5C．0,20D．4,20变式9．（2023·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则APAB的取值范围是（）A．[2,8].B．[4,8]C．[2,10]D．[4,10]变式10．（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PMPN的取值范围是（）A．2,4B．2,3C．3,42D．3,32题型六：坐标与角度型例16．（2023·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P在圆M：22424xy上，点2,0A，0,2B，则PBA最小和最大时分别为（）A．0°和60°B．15°和75°C．30°和90°D．45°和135°例17．（2023·高二单元测试）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是.例18．（2023·全国·高三专题练习）已知x，y满足2243xyy，则223xyxy的最大值为（）A．1B．2C．3D．5变式11．（2023·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆22:cossin1Mxy02（）与圆22:240Nxyxy交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（）A．12B．34C．45D．43变式12．（2023·全国·高三专题练习）动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（）A．1B．2C．2D．22变式13．（2023·全国·模拟预测）已知圆22:125Cxy，圆C是以圆221xy上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆C与圆C交于A，B两点，则sinACB的最大值为（）A．12B．23C．34D．45题型七：长度型例19．（2023·全国·高三专题练习）已知圆22:21Cxy及点0,2A，点P、Q分别是直线0xy和圆C上的动点，则PAPQ的最小值为.例20．（2023·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线l与圆22:4Oxy交于1122,,,AxyBxy两点，且2AB，则112244xyxy的最大值为.例21．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知1122,,AxyBxy､为圆22:4Mxy上的两点，且12122xxyy，设00,Pxy为弦AB的中点，则003410xy的最大值为.变式14．（2023·上海静安·高二校考期末）已知实数1212,,,xxyy满足2222112211xyxy，，121212xxyy，则11221122xyxy的最大值为.变式15．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足|PAPB（其中是正常数，且1），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)MN、，P是圆22:3Oxy上的动点，则3PMPN的最小值为变式16．（2023·全国·高二期中）已知圆C是以点2,23M和点6,23N为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点2,0A，点1,1B，则2PAPB的最大值为（）A．26B．42C．852D．2变式17．（2023·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知A，B是曲线2||123xyy上两个不同的点，(0,1)C，则||||CACB的最大值与最小值的比值是（）A．53B．355C．2D．3变式18．（2023·全国·高三专题练习）在RtABC△中，2BAC，2ABAC，点M在ABC内部，3cos5AMC，则22MBMA的最小值为．变式19．（2023·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P在直线2yx上运动，点E是圆221xy上的动点，点F是圆22(6)(5)9xy上的动点，则||||PFPE的最大值为（）A．6B．7C．8D．9题型八：方程中的参数例22．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，90,4,2ABADABBC，点M在以CD为直径的半圆上，且满足AMmABnAD，则mn的最大值为（）A．2B．3C．52D．1054例23．（2023·全国·高三专题练习）已知0,0O，3,1P，14cos,34sinQ，0,2，则OPQ△面积的最大值为（）A．4B．5C．53D．833例24．（2023·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点0,4A，点2,0,BP为圆22:4Oxy上一动点，则PBPA的最大值是（）A．253B．334C．453D．332变式20．（2023·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知过点1,3的动直线l与圆22:16Cxy交于,AB两点，过,AB分别作C的切线，两切线交于点N.若动点cos,sin(002)M，则MN的最小值为．