重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题（七大题型）（原卷版）

重难点突破06弦长问题及长度和、差、商、积问题目录1、弦长公式的两种形式①若A，B是直线ykxm与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二次方程20pxqxr，则221211||PQkxxkp．②若A，B是直线xmyn与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二次方程20pyqyr，则2211||ABABmyymp．题型一：弦长问题例1．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线l与圆22:1Oxy相切，且交椭圆22:143xyC于1122,,,AxyBxy两点，若1267yy，则||AB．例2．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆2219xy，过左焦点F作倾斜角为π6的直线交椭圆于A、B两点，则弦AB的长为．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，离心率为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，ADEV的周长是13，则DE．变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：2213xy，若直线l的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若32MN，则点P的坐标为.变式2．（2023·贵州·统考模拟预测）已知双曲线22:10Cxmym的左、右焦点分别为1F，2F，点A，B分别在双曲线C的左支与右支上，且点A，B与点2F共线，若11::2:2:3ABAFBF，则AB.变式3．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点5,4A射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则BC．变式4．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线28yx的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若AFBCFB，则||AF．变式5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.变式6．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线22(0)ypxp的准线方程是12x.(1)求抛物线的方程；(2)设直线(2)(0)ykxk与抛物线相交于M，N两点，若210MN，求实数k的值.题型二：长度和问题例4．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆2212:104xyCyb和两个半圆222:110Cxyy、223:110Cxyy组成曲线:,0CFxy，其中点12,AA依次为1C的左、右顶点，点B为1C的下顶点，点12,FF依次为1C的左、右焦点．若点12,FF分别为曲线23,CC的圆心．(1)求1C的方程；(2)若过点12,FF作两条平行线12,ll分别与12,CC和13,CC交与,MN和,PQ，求MNPQ的最小值．例5．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当0且1时，我们把方程22220xyabab表示的椭圆C称为椭圆222210xyabab的相似椭圆．已知椭圆22:14xCy，椭圆C（0且1）是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆C上异于其左、右顶点,MN的任意一点．(1)当2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线12ll，恰好相交于点P，直线12ll，的斜率分别为12,kk，求12kk的值；(2)当2e（e为椭圆C的离心率）时，设直线PM与椭圆C交于点,AB，直线PN与椭圆C交于点,DE，求ABDE的值．例6．（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆22122:1xyCab(0ab)的左右焦点分别为1F，2F，点A为1C上的一个动点(非左右顶点)，连接1AF并延长交1C于点B，且2ABF△的周长为8，12AFF△面积的最大值为2．(1)求椭圆1C的标准方程；(2)若椭圆2C的长轴端点为12,FF，且2C与1C的离心率相等，P为AB与2C异于1F的交点，直线2PF交1C于,MN两点，证明：||||ABMN为定值．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆222210xyabab的离心率为12，且点31,2M在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点2F作两条互相垂直的弦AB与CD，求ABCD的取值范围.题型三：长度差问题例7．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知抛物线2:2Cypx经过点2,26，直线1:(0)lykxmkm与C交于A，B两点（异于坐标原点O）．(1)若0OAOB，证明：直线1l过定点．(2)已知2k，直线2l在直线1l的右侧，12//ll，1l与2l之间的距离5d，2l交C于M，N两点，试问是否存在m，使得||||10MNAB？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．例8．（2023·云南保山·高三统考阶段练习）已知抛物线1C：24yx的焦点为椭圆2C：22221(0)xyabab的右焦点F，点P为抛物线1C与椭圆2C在第一象限的交点，且53PF.(1)求椭圆2C的方程；(2)若直线l过点F，交抛物线1C于A，C两点，交椭圆2C于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且3011ACBD，求直线l的方程.题型四：长度商问题例9．（2023·重庆·校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率是5，点F是双曲线C的一个焦点，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线C的标准方程.(2)设点M在直线14x上，过点M作两条直线12,ll，直线1l与双曲线C交于,AB两点，直线2l与双曲线C交于,DE两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补，证明：MAMEMDMB.例10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆A：2229xy（），圆B：2221xy（），圆C与圆A、圆B外切，(1)求圆心C的轨迹方程;E(2)若过点B且斜率k的直线与E交与MN、两点，线段MN的垂直平分线交x轴与点P，证明MNPB的值是定值.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点为3,0F，过点F与x轴垂直的直线1l与双曲线C交于M，N两点，且4MN.(1)求C的方程；(2)过点0,1A的直线2l与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若GHDE，求实数的取值范围.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为3yx，右焦点(c,0)F到渐近线的距离为3.（1）求双曲线C的方程；（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：||||ABFD为定值.变式9．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左､右焦点分别为12,FF，且124FF.过右焦点2F的直线l与C交于,AB两点，1ABF的周长为82.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过原点O作一条垂直于l的直线11,ll交C于,PQ两点，求ABPQ的取值范围.变式10．（2023·陕西·统考一模）在椭圆C：222210xyabab，2c，过点0,b与,0a的直线的斜率为33．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线3x上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当MNPF取最大值时，求直线MN的方程．变式11．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆2222:1(0)xyCabab）中，2c，过点0,b与,0a的直线的斜率为33.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线3x上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于,MN两点，求||||MNPF的最大值.变式12．（2023·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）平面直角坐标系xOy中，P为动点，PA与直线3xy垂直，垂足A位于第一象限，PB与直线3xy垂直，垂足B位于第四象限，90APB且34APBP，记动点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)已知点2,0M，2,0N，设点T与点P关于原点O对称，MTN的角平分线为直线l，过点P作l的垂线，垂足为H，交C于另一点Q，求PHQH的最大值.变式13．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知1F，2F为椭圆2222:10xyCabab的两个焦点．且124FF，P为椭圆上一点，1226PFPF．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点2F的直线l交椭圆于,AB两点，若AB的中点为,MO为坐标原点，直线OM交直线3x于点N．求2ABNF的最大值．变式14．（2023·海南海口·高三统考期中）设O为坐标原点，点M，N在抛物线2:4Cxy上，且4OMON.(1)证明：直线MN过定点；(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求2MNOP的取值范围.变式15．（2023·四川绵阳·统考三模）过点2,0A的直线l与拋物线2:20Cypxp交于点M，N（M在第一象限），且当直线l的倾斜角为π4时，32MN.(1)求抛物线的方程；(2)若3,0B，延长MB交抛物线C于点P，延长PN交x轴于点Q，求QNQP的值.变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：220xpyp上的点02,y到其焦点F的距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点D在直线l：=3y上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求ABMN的值．变式17．（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线2:20Eypxp的焦点为F，点F关于直线1324yx的对称点恰好在y轴上．(1)求抛物线E的标准方程；(2)直线:26lykxk与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若6,0D，求ABCD的最大值．变式18．（2023·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆与抛物线220ypxp有一个相同的焦点21,0F，椭圆的长轴长为2p．(1)求椭圆与抛物线的方程；(2)P为抛物线上一点，1F为椭圆的左焦点，直线1PF交椭圆于A，B两点，直线2PF与抛物线交于P，Q两点，求ABPQ的最大值．题型五：长度积问题例12．（2023·山东·高三校联考阶段练习）已知抛物线2:2(0)Cxpyp，F为C的焦点，过点F的直线l与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T，当l与y轴垂直时，||4HI．(1)求C的方程；(2)证明：2||||||FIFHFT．例13．（2023·浙江·校考模拟预测）已知抛物线：220ypxp，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆22211xyaa交于C、D两点，其中3OAOB．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线AB，使得CD是FA与FB的等比中项，若存在，请求出AB的方程及a；若不存在，请说明理由．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为12，且直线1