重难点突破09 一类与斜率和、差、商、积问题的探究（四大题型）（原卷版）

重难点突破09一类与斜率和、差、商、积问题的探究目录1、已知00(,)Pxy是椭圆22221xyab上的定点，直线l（不过P点）与椭圆交于A，B两点，且0PAPBkk，则直线l斜率为定值2020bxay．2、已知00(,)Pxy是双曲线22221xyab上的定点，直线l（不过P点）与双曲线交于A，B两点，且0PAPBkk，直线l斜率为定值2020bxay．3、已知00(,)Pxy是抛物线22ypx上的定点，直线l（不过P点）与抛物线交于M，N两点，若0PAPBkk，则直线l斜率为定值0py．4、00(,)Pxy为椭圆222:xyab2+=1)0,0(ab上一定点，过点P作斜率为1k，2k的两条直线分别与椭圆交于,MN两点．（1）若12(0)kk，则直线MN过定点20000222(,)ybxxya；（2）若2122()bkka，则直线MN过定点2222002222(,)ababxyabab．5、设00(,)Pxy是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P作两条直线AB，CD交椭圆222:xyab2+=1)0,0(ab于A、B、C、D，直线AB，CD的斜率分别为1k，2k，弦AB，CD的中点记为M，N．（1）若12(0)kk，则直线MN过定点20002(,)ybxxa；（2）若2122()bkka，则直线MN过定点22002222(,)axbyabab．6、过抛物线22(0)ypxp上任一点00(,)Pxy引两条弦PA，PB，直线PA，PB斜率存在，分别记为12,kk，即12(0)kk，则直线AB经过定点00022(,)ypxy．题型一：斜率和问题例1．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点2,0A，2,0B，,Pxy是异于A，B的动点，APk，BPk分别是直线AP，BP的斜率，且满足34APBPkk.(1)求动点P的轨迹方程；(2)在线段AB上是否存在定点E，使得过点E的直线交P的轨迹于M，N两点，且对直线4x上任意一点Q，都有直线QM，QE，QN的斜率成等差数列.若存在，求出定点E，若不存在，请说明理由.例2．（2023·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线2111:2(0)Cypxp与抛物线2222:2(0)Cxpyp在第一象限交于点P.(1)已知F为抛物线1C的焦点，若PF的中点坐标为1,1，求1p；(2)设O为坐标原点，直线OP的斜率为1k.若斜率为2k的直线l与抛物线1C和2C均相切，证明12kk为定值，并求出该定值.例3．（2023·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，渐近线方程为02xy，点2,0A在C上；(1)求双曲线C的方程；(2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点（不与A点重合），且两条直线的斜率1k，2k满足121kk，直线PQ与直线2x，y轴分别交于M，N两点，求证：AMN的面积为定值.变式1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两定点4,0A，4,0B，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且22MNANNB．(1)求动点M的轨迹；(2)设过0,1P的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为1k，2k，0k，且满足120112kkk．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．变式2．（2023·全国·高三专题练习）设2,An是抛物线2:4Exy上一点，不过点A的直线l交E于M，N两点，F为E的焦点．(1)若直线l过F，求11FMFN的值；(2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为1k，2k和k，若122kk，求k的值．变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyEabab经过点31,2A，离心率为12．过点0,2B的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为AMk和ANk，求11AMANkk的值．变式4．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点4,3P为双曲线2222:1(0,0)xyEabab上一点，E的左焦点1F到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点P的直线ykxt与双曲线E交于,AB两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线ykxt过定点，并求该定点的坐标.变式5．（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点1(6,0)F、2(6,0)F，12MFF△的内切圆与直线12FF相切于点(4,0)D，记点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线2x上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接BPAQ，.若直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0，试比较cosBAQ与cosBPQ的大小.变式6．（2023·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为121,,2AA分别为椭圆C的左右顶点，12,FF分别为椭圆C的左右焦点，B是椭圆C的上顶点，且11BAF的外接圆半径为2213．(1)求椭圆C的方程；(2)设与x轴不垂直的直线l交椭圆C于,PQ两点（,PQ在x轴的两侧），记直线1221,,,APAPAQAQ的斜率分别为1234,,,kkkk．（i）求12kk的值；（ii）若142353kkkk，则求2FPQ△的面积的取值范围．变式7．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且8AB．(1)求抛物线E的方程；(2)设1,Pm为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为PMk和PNk．求证：PMPNkk为定值．变式8．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为12,AA，点31,2M在椭圆C上，且1234MAMA．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于,PQ两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为12,kk，当120kk时，求：①直线l的方程；②MPQ的面积．变式9．（2023·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；(2)已知(1,2)A及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为1k，2k，且121kk，求证：直线BD经过定点．变式10．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知椭圆C：222210xyabab过点2,3，且C的右焦点为2,0F．(1)求C的离心率；(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线8x上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为PMk，PNk，PFk，证明：2PMPNPFkkk．变式11．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知椭圆222:1(0)6xyCbb的左右焦点分别为12,,FFC是椭圆的中心，点M为其上的一点满足125,2MFMFMC．(1)求椭圆C的方程；(2)设定点,0Tt，过点T的直线l交椭圆C于,PQ两点，若在C上存在一点A，使得直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定值，求t的范围．变式12．（2023·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知定点1,0F，定直线:1lx，动圆M过点F，且与直线l相切．(1)求动圆的圆心M所在轨迹C的方程；(2)已知点,1Pt是轨迹C上一点，点,AB是轨迹C上不同的两点（点,AB均不与点P重合），设直线,APBP的斜率分别为12kk、，且满足1285kk，证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标．题型二：斜率差问题例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆C：22221(0)xyabab的离心率32e，3ab．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2mn为定值．例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(1，0)，点M在x轴上运动，点N在y轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足0,2PMNAOMONPO.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)点Q为圆22(2)1xy上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记12,kk分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求1211kk的取值范围.例6．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设M、N为抛物线2:20Cypxp上的两点，M与N的中点的纵坐标为4，直线MN的斜率为12.（1）求抛物线C的方程；（2）已知点1,2P，A、B为抛物线C（除原点外）上的不同两点，直线PA、PB的斜率分别为1k，2k，且满足12112kk，记抛物线C在A、B处的切线交于点,ssSxy，线段AB的中点为,EEExy，若sEyy，求的值.变式13．（2023·全国·高三专题练习）如图,已知点F是抛物线C：22(0)xpyp的焦点,点M在抛物线上,且(2,0)FM.（1）若直线20lxy:与抛物线C交于,AB两点,求||AB的值;（2）若点,PQ在抛物线C上,且抛物线C在点,PQ处的切线交于点S,记直线,MPMQ的斜率分别为12,kk,且满足212kk,求证：PQS△的面积为定值.变式14．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F，1BF，过F且斜率为(0)kk的直线l与椭圆C相交于M，N两点，M在x轴上方．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记AFM△，BFN的面积分别为1S，2S，若1232SS，求k的值；(3)设线段MN的中点为D，直线OD与直线4x相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为1k，2k，3k，求213()kkk的值．变式15．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的两焦点分别为123,0,3,0FF，A是椭圆E上一点，当12π3FAF时，12FAF的面积为33.(1)求椭圆E的方程；(2)直线1111:200lkxykk与椭圆E交于MN，两点，线段MN的中点为P，过P作垂直x轴的直线在第二象限交椭圆E于点S，过S作椭圆E的切线2l，2l的斜率为2k，求12kk的取值范围.题型三：斜率积问题例7．（2023·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考期末）已知双曲线2222:1xyCab(0a，0b)的两条渐近线互相垂直，且过点2,1D．(1)求双曲线C的方程；(2)设P为双曲线的左顶点，直线l过坐标原点且斜率不为0，l与双曲线C交于A，B两点，直线m过x轴上一点Q(异于点P)，且与直线l的倾斜角互补，m与直线PA，PB分别交于M，N(M，N不在坐标轴上)两点，若直线OM，ON的斜率之积为定值，求点Q的坐标．例8．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，椭圆222:1(1)xEyaa的左、右顶点分别为,AB，,Qaa，N为椭圆上的动点且在第一象限内，线段QN与椭