重难点突破10 圆锥曲线中的向量问题（五大题型）（原卷版）

重难点突破10圆锥曲线中的向量问题目录题型一：向量的单共线例1．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知椭圆2222:10xyCabab的一个焦点为1,0F，点21,2在椭圆C上，点T满足222aOTOFab（其中O为坐标原点），过点F作一直线交椭圆于P、Q两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求PQT△面积的最大值；(3)设点P为点P关于x轴的对称点，判断PQ与QT的位置关系，并说明理由.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知1F，2F分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线2214xy在第一象限与椭圆C相交于点P，且21PF．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线1ykx与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且0ODmOBm．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．例3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于(0,)Mm点，若存在实数m，使得34OAOBOM+=，求m的取值范围．变式1．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知椭圆2222:1(0)xyEabab，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，31,2M是E上一点．(1)求椭圆E的方程；(2)设斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，D为线段AB的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得20OCOD，求三角形ABC的面积．变式2．（2023·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知椭圆C：2212xy的左右焦点分别为12,FF，过点0,2A的直线l交椭圆C于不同的两点,PQ.（1）若直线l经过2F，求1FPQ的周长；（2）若以线段PQ为直径的圆过点2F，求直线l的方程；（3）若AQAP，求实数的取值范围．变式3．（2023·全国·高三专题练习）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆2222:1(0)xyCabab的左､右焦点分别为1F，2F，从2F发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点2F，这个过程中光线所经过的总路程为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线:0MNxmyt，且满足11FMFN，若513，求实数m的取值范围.变式4．（2023·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）已知点0,2A，椭圆2222:10xyEabab的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，且12APAQ，求OPQ△的面积及直线l的方程．变式5．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆22:142xyC，12,FF是其左、右焦点，12,AA是其左、右顶点，过1F的直线l交椭圆于,AB两点，且点A在x轴上方，O为坐标原点.(1)若lx轴，求线段AB的长；(2)若1AO的中点为E，且点A在以2EA为直径的圆上，求点A的坐标；(3)若1130FAFB，求直线l的方程.变式6．（2023·山西吕梁·高三统考期末）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为43,离心率为32.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点0,1M，且与椭圆C交于,AB两点，若2AMMB，求直线l的方程.变式7．（2023·河南驻马店·高二统考期末）已知圆221:(3)9Cxy，222:(3)1Cxy，动圆M与圆1C，2C均外切，记圆心M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)直线l过点2C，且与曲线C交于,AB两点，满足223ACCB，求直线l的方程．题型二：向量的双共线例4．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab过点3,1M，且焦距为42.(1)求C的方程；(2)已知过点2,1P的动直线l交C的右支于,AB两点，Q为线段BA上的一点，且满足APBPAQBQ，证明：点Q总在某定直线上.例5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线2222:10,0xyCabab的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为3．(1)求双曲线C的方程．(2)若过双曲线的左焦点F的直线l交双曲线于A，B两点，交y轴于P，设PFFAFB．试判断是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：22221xyab（0ab），椭圆的中心到直线20xy的距离是短半轴长，长轴长是焦距的2倍.(1)求椭圆C的方程；(2)设2,0A，过点1,0T作斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，P，Q两点在直线3x上且AMAP//，ANAQ//，设直线PT、QT的斜率分别为1k，2k，试问：12kk是否为定值？若是，求出该定值.若不是，请说明理由.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是拋物线214yx的焦点，离心率为255.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于,AB两点，交y轴于M点，若12,MAAFMBBF，求证：1210.变式9．（2023·黑龙江·高三校联考期末）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214yx的焦点，离心率为255.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若1MAAF，2MBBF，求12的值.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:14xyCm的左焦点为11,0F．(1)设M是C上任意一点，M到直线:4lx的距离为d，证明：1dMF为定值．(2)过点4,0P且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且PAPB，QABQ，O为坐标原点，证明：216OPOQk．变式11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知椭圆C：222210xyabab的离心率12e，点1F，2F为椭圆C的左、右焦点且经过点1,0Fc的最短弦长为3．(1)求椭圆C的方程；(2)过点1F分别作两条互相垂直的直线1l，2l，且1l与椭圆交于不同两点A，B，2l与直线xc交于点P，若11AFFB，且点Q满足QAQB，求PQ的最小值．变式12．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）已知A,B分别是椭圆2222:1(0)xyCabab的左右顶点,O为坐标原点,=6AB,点2,35在椭圆C上.过点0,3P,且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当直线l的倾斜角为锐角时,设直线AM,AN分别交y轴于点S、T,记PSPO,PTPO,求的取值范围.变式13．（2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）已知椭圆2222:10,0xyCabab过点21,2D离心率22e，左、右焦点分别为12,FF，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．(1)若1212,2PFQFPFQF∥，求直线2QF的方程；(2)延长12,PFPF分别交椭圆C于点M，N，设1122,MFFPNFnFP，求n的最小值．变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的短轴长为22，2,1P是椭圆C上一点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点,0Mm（m为常数，且2m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与y轴相交于点N，已知1NAAM，2NBBM，证明：21284m．题型三：三点共线问题例7．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，一条渐近线方程为30xy．（1）求双曲线C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为AB、，过F的直线l交C的右支于,MN两点，连结MB交直线32x于点Q，求证：AQN、、三点共线．例8．（2023·山东滨州·高三校考阶段练习）已知双曲线222:1xQya的离心率为52，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点11,Axy位于第一象限，22,Cxy是双曲线Q右支上一点，ABAC，设113,2yDx(1)求双曲线Q的标准方程；(2)求证：C，D，B三点共线；(3)若ABC面积为487，求直线l的方程．例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：222210xyabab的面积为23π，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点1,0的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线4x交于点F，试证明B，Q，F三点共线.变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆Γ：22210,22xymmm，点,AB分别是椭圆Γ与y轴的交点（点A在点B的上方），过点0,1D且斜率为k的直线l交椭圆于,EG两点．(1)若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是22，求实数m的值；(2)若1mk，求BEG的面积；(3)设直线AE与直线2y交于点H，证明：,,BGH三点共线．变式16．（2023·青海西宁·统考一模）已知椭圆C：222210xyabab的离心率为63，右焦点2,0Fc与抛物线28yx的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左焦点为1F，过点3,0D的直线l与椭圆C交于,AB两点，A关于x轴对称的点为M，证明：1,,MFB三点共线.变式17．（2023·上海·高三校联考开学考试）已知椭圆Γ：222210xyabab的长轴长为23，离心率为63，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的交点A，B(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l的方程为：yxt，椭圆上点31,22M关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆Γ上，求t的值；(3)设2,0P，直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，若点C，D和点71,42Q三点共线，求k的值；变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左､右顶点分别为12,AA，右焦点为F（1，0），且椭圆C的离心率为12，M，N为椭圆C上任意两点，点P的坐标为（4，t）（t≠0），且满足1122,AMMPANNP.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：M，F，N三点共线.变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：222210xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，左、右顶点分别为A，B，122FF，4AB.（1）求椭圆C的方程.（2）过2F的直线与椭圆C交于M，N两点（均不与A，B重合），直线MB与直线4x交于G点，证明：A，N，G三点共线.变式20．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆2222: