重难点突破11 圆锥曲线存在性问题的探究（五大题型）（原卷版）

重难点突破11圆锥曲线存在性问题的探究目录解决存在性问题的技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．题型一：存在点使向量数量积为定值例1．（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为2,0，离心率为22e．1求椭圆E的方程；2过点1,0作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．例2．（2023·山西大同·高二统考期末）已知椭圆22221(0)xyabab的一个焦点与抛物线243yx的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点PQ、，试问在x轴上是否存在定点(m,0)E，使PEQE恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.例3．（2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为1F，2F，短轴长为23.点P在椭圆C上，且满足12PFF的周长为6.（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使得MAMB恒为定值？若存在，求出该点M的坐标；若不存在，请说明理由.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，椭圆经过点21,2A.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)作直线l交C于,MN两点，试问：在x轴上是否存在一个定点P，使PMPN为定值？若存在，求出这个定点P的坐标；若不存在，请说明理由.变式2．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知12FF､为双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点，E的离心率为5,M为E上一点，且212MFMF.(1)求E的方程；(2)设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的AB､两点，且点M在以线段AB为直径的圆上，过M作MCAB，垂足为C，是否存在点D，使得CD为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.变式3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆22122:10xyCabab的离心率为22，且直线yxb是抛物线22:4Cyx的一条切线．(1)求椭圆1C的方程；(2)过点10,3S的动直线L交椭圆1C于,AB两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．变式4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦3PQAF．(1)求APQ△的内心坐标；(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于,MN，交PQ于点R，且满足MRNDMDRN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．题型二：存在点使斜率之和或之积为定值例4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为O坐标原点，2,0,0,1,0,1,2,1ABCD，,,01OEOADFDA，CE和BF交点为P.(1)求点P的轨迹G；(2)直线(0)yxmm和曲线G交与MN，两点，试判断是否存在定点Q使14MQNQkk？如果存在，求出Q点坐标，不存在请说明理由.例5．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点2,0A，2,0B，,Pxy是异于A，B的动点，APk，BPk分别是直线AP，BP的斜率，且满足34APBPkk.(1)求动点P的轨迹方程；(2)在线段AB上是否存在定点E，使得过点E的直线交P的轨迹于M，N两点，且对直线4x上任意一点Q，都有直线QM，QE，QN的斜率成等差数列.若存在，求出定点E，若不存在，请说明理由.例6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）以双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点425,33Q(1)求C的方程.(2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于,AB两点时，直线,AFBF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.变式5．（2023·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习）已知圆C方程为228(62)610(,0)xymxmymmRm，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；（2）判断直线4330xy与圆C的位置关系，并证明你的结论；（3）当2m时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.变式6．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：222210xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，焦距为2，实轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点1F不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在一个点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.变式7．（2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且12PFF△的周长是6.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过椭圆的右焦点2F且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.变式8．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆222210)xyCabab：（＞＞的离心率是22，过点0,1P的动直线L于椭圆相交于,AB两点，当直线L平行于x轴时，直线L被椭圆C截得弦长为22．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）在y上是否存在与点P不同的定点Q，使得直线AQ和BQ的倾斜角互补？若存在，求Q的坐标；若不存在，说明理由．题型三：存在点使两角度相等例7．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆2212:1(1)xCyaa的左右焦点分别为12FF、，,AB分别为椭圆1C的上，下顶点，2F到直线1AF的距离为3．(1)求椭圆1C的方程；(2)直线0xx与椭圆1C交于不同的两点,CD，直线,ACAD分别交x轴于,PQ两点．问：y轴上是否存在点R，使得π2ORPORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．例8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆:C222210xyabab经过点2,0A且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，且P、O、Q三点共线.其中O为坐标原点.问：x轴上是否存在点M，使得AMEEFM？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由.例9．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆22:116Cxy上的任意一点，点1,0F，线段AF的垂直平分线交AC于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若过点3,0G且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点2,0B．问：x轴上是否存在定点T，使得MTONTB恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．变式9．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆222:1(0)3xyCaa经过点31,2（），过点3,0T的直线交该椭圆于P，Q两点.(1)求OPQ△面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点,0Ss使得PSTQST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.变式10．（2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆2222:10xyCabab过点21,2，且上顶点与右顶点的距离为3．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点3,0P的直线l交椭圆C于,AB两点，x轴上是否存在点Q使得πPQAPQB，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．变式11．（2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，动点M到点2,0D的距离等于点M到直线1x距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l：122yxtt与曲线C交于,AB两点，问曲线C上是否存在两点,PQ满足90APBAQB，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.题型四：存在点使等式恒成立例10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知R是圆M：2238xy上的动点，点3,0N，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MSNL∥，动点L的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若过点2,0P的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，过点0,Bb且与直线2BF垂直的直线交x轴负半轴于D，且12220FFFD．(1)求椭圆的离心率；(2)若过B、D、2F三点的圆恰好与直线:360lxy相切，求椭圆Γ的方程；(3)设2a．过椭圆右焦点2F且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．例12．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为3，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得4PTxx(其中Px，Tx为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．变式12．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆22:143xyE的左顶点和右焦点分别为,AF，动点P满足2219||||22PAPF，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设点Q在E上，过Q作C的两条切线，分别与y轴相交于,MN两点.是否存在点Q，使得MN等于E的短轴长？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.变式13．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点30,2F的距离比它到直线l：=2y的距离小12，记动点M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若过点F的直线交E于11,Axy，22,Bxy两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且3ABCD？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.变式14．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆E的方程及离心率；(2)