重难点突破08 圆锥曲线的垂直弦问题 （八大题型）（原卷版）

重难点突破08圆锥曲线的垂直弦问题目录1、过椭圆22221yxab的右焦点(,0)Fc作两条互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点222(,0)acab．2、过椭圆22221yxab的长轴上任意一点(,0)()Ssasa作两条互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点222(,0)asab．3、过椭圆22221yxab的短轴上任意一点(0,)()Ttttt作两条互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点222(0,)btab．4、过椭圆22221yxab内的任意一点2222(,)(1)stQstab作两条互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点222222(,)asbtabab．5、以00(,)xy为直角定点的椭圆22221yxab内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)abbaxyabba6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y轴上．7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x轴上．8、以00(,)xy为直角定点的抛物线22ypx内接直角三角形的斜边必过定点0(2xp，0)y9、以00(,)xy为直角定点的双曲线22221yxab内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)ababxyabba题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点例1．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知点(1,0),(1,0)AB，动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在线段AB上）(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为13,0F，23,0F，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程及离心率；(2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出DAB面积的最大值.例3．（2023·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知P为圆22:4Mxy上一动点，过点P作x轴的垂线段,PDD为垂足，若点Q满足32DQDP.(1)求点Q的轨迹方程；(2)设点Q的轨迹为曲线C，过点1,0N作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为EF､，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得GH为定值？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.变式1．（2023·上海青浦·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:12xy，过右焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为M，N．(1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求FMN面积的最大值．变式2．（2023·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设12,FF分别是椭圆22221xaCyb＋＝：0ab（）的左､右焦点，M是C上一点，2MF与x轴垂直.直线1MF与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设0,1D是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于AB，两点，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.变式3．（2023·全国·高二专题练习）设12,FF分别是圆2222:1(0)xyCabab的左､右焦点，M是C上一点，2MF与x轴垂直.直线1MF与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为24(1)求椭圆C的离心率.(2)设(0,1)D是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得||RQ的长度为定值？并证明你的结论.变式4．（2023·云南昆明·高二统考期中）已知椭圆222:1204xyCbb，直线yx被椭圆C截得的线段长为4105.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线12,ll.分别交椭圆C于,MN两点（点,MN不同于椭圆C的右顶点），证明：直线MN过定点.题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点例4．（2023·高二课时练习）已知双曲线C：222210,0xyabab经过点2,1P，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为63．(1)求双曲线C的方程；(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：0ykxmk，试求k和m之间满足的关系式．例5．（2023·江苏南京·高二校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：32x的距离之比是常数233，记P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设过点A(3，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1,0xyabab，经过双曲线上的点2,1A作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为14.(1)求双曲线的方程；(2)过点A作ADMN（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得DE为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点例7．（2023·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知抛物线C：220ypxp的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，8AB．(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C上一点,2Pa作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于MN两点（异于点P），证明：直线MN恒过定点，并求出该定点坐标．例8．（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知抛物线2:2Expy的焦点F关于直线:240lxy的对称点Q恰在抛物线E的准线上．(1)求抛物线E的方程；(2)M是抛物线E上横坐标为2的点，过点M作互相垂直的两条直线分别交抛物线E于,AB两点，证明直线AB恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．例9．（2023·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)Cypxp，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，||4FM，120OFM．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点0,2Qx在C上，过Q作两条互相垂直的直线,QAQB，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线AB恒过定点．变式5．（2023·浙江·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)Wxpyp的焦点F也是椭圆22134xy的一个焦点，如图，过点F任作两条互相垂直的直线1l，2l，分别交抛物线W于A，C，B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点.(1)求p的值；(2)求证：直线EG过定点，并求出该定点的坐标；(3)设直线EG交抛物线W于M，N两点，试求||MN的最小值.变式6．（2023·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知抛物线C：22ypx(0)p的焦点为F，点(2,)Pt在抛物线C上，且3PF．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C上一点(,4)Nm作两条互相垂直的弦NA和NB，试问直线AB是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：22ypx(0)p的焦点为F，直线4y与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且54QFPQ．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C上一点(,4)Nm作两条互相垂直的弦NA和NB，试问直线AB是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．变式8．（2023·云南曲靖·高二校考期末）已知点M与点4,0F的距离比它的直线:60lx的距离小2．(1)求点M的轨迹方程；(2),OAOB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点例10．（2023·福建龙岩·统考一模）双曲线：22143xy的左右顶点分别为1A，2A，动直线l垂直的实轴，且交于不同的两点,MN，直线1AN与直线2AM的交点为P.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点(1,0)H作C的两条互相垂直的弦DE，FG，证明：过两弦DE，FG中点的直线恒过定点.例11．（2023·全国·高二期末）已知椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,FF，抛物线24yx与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且17||3PF．(1)求椭圆的方程；(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．例12．（2023·上海闵行·高二闵行中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，3,0M，已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4．(1)求动点P的轨迹方程；(2)过3,0M作互相垂直的两条直线1l、2l，1l与动点P的轨迹交于A、B，2l与动点P的轨迹交于点C、D，AB、CD的中点分别为E、F；证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；(3)在（2）的条件下，求四边形ACBD面积的最小值．变式9．（2023·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知椭圆2222:10xyabab的离心率为32，椭圆截直线1x所得线段的长度为3．过3,0M作互相垂直的两条直线1l、2l，直线1l与椭圆交于A、B两点，直线2l与椭圆交于C、D两点，AB、CD的中点分别为E、F．(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；(3)求四边形ABCD面积S的最小值．变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10xyMabab上任意一点P到椭圆M两个焦点12,FF的距离之和为4，且离心率为32．(1)求椭圆M的标准方程；(2)设A为M的左顶点，过A点作两条互相垂直的直线,ACAD分别与M交于,CD两点，证明：直线CD经过定点，并求这个定点的坐标．题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点例13．（2023·高二课时练习）已知双曲线C222210,0xyabab：的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线2axc的距离为12，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.例14．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到点2,0F的距离与它到直线32x的距离之比为233．记点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线1l，2l.1l交曲线C于A，B两点，2l交曲线C于S，T两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．例15．（2023·山西大同·高三统考阶段练习）已知双曲线C：222210,0xyabab的右焦点为F，半焦距2c，点F到右准线2axc的距离为12，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标.变式11．