重难点突破17 圆锥曲线中参数范围与最值问题（八大题型）（原卷版）

重难点突破17圆锥曲线中参数范围与最值问题目录1、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．2、求参数范围问题的常用方法构建所求几何量的含参一元函数，形如ABfk，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：（1）二次函数；（2）“对勾函数”(0)ayxax；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在Δ0或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．③利用基本不等式求出参数的取值范围．④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．题型一：弦长最值问题例1．（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知圆222:Oxyr的任意一条切线l与椭圆22:1124xyM都有两个不同交点A，B（O是坐标原点）（1）求圆O半径r的取值范围；（2）是否存在圆O，使得0OAOB恒成立？若存在，求出圆O的方程及OAOB的最大值；若不存在，说明理由.例2．（2023·河北·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上滑动，点B在y轴上滑动，A、B两点间距离为13．点P满足3BPPA，且点P的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上的不同两点，直线MN斜率存在且与曲线221xy相切，若点F为2,0，那么MNF的周长是否有最大值．若有，求出这个最大值，若没有，请说明理由．例3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆2222:1(0)xyCabab）中，2c，过点0,b与,0a的直线的斜率为33.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线3x上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于,MN两点，求||||MNPF的最大值.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10xyEabab的离心率为22，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A、B两点，与直线2x相交于点M．(1)若2,1M，求证：MABFMBAF；(2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C、D两点，与直线2x相交于点N．求1111MAMBNCND的最大值．变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，左顶点为2,0A，直线l与椭圆C交于P，Q两点.(1)求椭圆的C的标准方程；(2)若直线AP，AQ的斜率分别为1k，2k，且1294kk，求PQ的最小值.变式3．（2023·江西南昌·统考一模）已知双曲线22221xyab（b＞a＞0），O为坐标原点，离心率e2，点5,3M在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）若直线l与双曲线交于P、Q两点，且0OPOQ.求|OP|2+|OQ|2的最小值.题型二：三角形面积最值问题例4．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆222:103xyCaba的左、右顶点分别为1M、2M，T为椭圆上异于1M、2M的动点，设直线1TM、2TM的斜率分别为1k、2k，且1234kk.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设动直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，若0OAOB，OAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.例5．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）如图，,,,EFGH分别是矩形ABCD四边的中点，2,0,2,1FC，,CSCFOROF.(1)求直线ER与直线GS交点M的轨迹方程；(2)过点1,0I任作直线与点M的轨迹交于,PQ两点，直线HP与直线QF的交点为J，直线HQ与直线PF的交点为K，求IJK△面积的最小值.例6．（2023·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆22:143xyC．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点00(,)Pxy是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为00143xxyy；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为,AB，求△MAB的面积的最小值．变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：222210xyabab和圆O：222xyb（其中原点O为圆心），过双曲线C上一点00,Pxy引圆O的两条切线，切点分别为A、B．（1）若双曲线C上存在点P，使得90APB，求双曲线离心率e的取值范围；（2）求直线AB的方程；（3）求三角形OAB面积的最大值．变式5．（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知抛物线2Γ:2,yxABMN､､､为抛物线Γ上四点，点T在y轴左侧，满足2,2TATMTBTN.(1)求抛物线Γ的准线方程和焦点坐标；(2)设线段AB的中点为D.证明：直线TD与y轴垂直；(3)设圆22:(2)3Cxy，若点T为圆C上动点，设TAB△的面积为S，求S的最大值.变式6．（2023·河北·统考模拟预测）已知抛物线2:2(0)Cxpyp，过点(0,2)P的直线l与C交于,AB两点，当直线l与y轴垂直时，OAOB（其中O为坐标原点）.(1)求C的准线方程；(2)若点A在第一象限，直线l的倾斜角为锐角，过点A作C的切线与y轴交于点T，连接TB交C于另一点为D，直线AD与y轴交于点Q，求APQ△与ADT面积之比的最大值.题型三：四边形面积最值问题例7．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点2,0F，直线:2lx，作直线l的平行线:lxa2x，动点P满足到F的距离与到直线l的距离之和等于直线l与l之间的距离．记动点P的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)过3,1Q作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且直线AB的倾斜角ππ,64，求四边形ACBD面积的最大值．例8．（2023·全国·高三专题练习）O为坐标原点椭圆22122:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,FF，离心率为1e；双曲线22222:1xyCab的左右焦点分别为34,FF，离心率为2e，已知12154ee，切2453FF．(1)求12,CC的方程；(2)过1F作1C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与2C交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．例9．（2023·全国·高三专题练习）如图,O为坐标原点,椭圆1:C222210xyabab的左右焦点分别为12,FF,离心率为1e;双曲线2:C22221xyab的左右焦点分别为34,FF,离心率为2e,已知1232ee,且2431FF.(1)求12,CC的方程;(2)过1F点作1C的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与2C交于,PQ两点时,求四边形APBQ面积的最小值.变式7．（2023·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，M为椭圆E的上顶点，120MFMF，点2,1N在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过焦点2F的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积的最小值.变式8．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，P是椭圆C上异于左、右顶点的动点，12PFPF的最小值为2，且椭圆C的离心率为12．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l过2F与椭圆C相交于A，B两点，A，B两点异于左、右顶点，直线1l过1F交椭圆C于M，N两点，1ll，求四边形AMBN面积的最小值．变式9．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）平面内动点M与定点0,1F的距离和它到定直线4y的距离之比是1:2.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线12,ll分别交轨迹E于点,AC和,BD，求四边形ABCD面积S的最小值.题型四：弦长的取值范围问题例10．（2023·河北·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyEabab的中心在原点，点13,2P在椭圆E上，且离心率为32.(1)求椭圆E的标准方程；(2)动直线13:2lykx交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为2k，且1214kk，M是线段OC上一点，圆M的半径为r，且23rAB，求OCr的范围.例11．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆22:184xyC，点0,1N，斜率不为0的直线l与椭圆C交于点,AB，与圆N相切且切点为,MM为AB中点.(1)求圆N的半径r的取值范围；(2)求AB的取值范围.变式12．（2023·广东深圳·高三校联考期中）已知点,Mxy在运动过程中，总满足关系式：2222334xyxy.(1)点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程；(2)设圆:O221xy，直线:lykxm与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点,AB，当OAOB且1,12时，求弦长AB的取值范围.变式13．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆22112xCy：的左、右顶点是双曲线22222100xyCabab：（，）的顶点，1C的焦点到2C的渐近线的距离为33.直线lykxt：与2C相交于A，B两点，3OAOB.(1)求证：2281kt(2)若直线l与1C相交于P，Q两点，求PQ的取值范围.变式14．（2023·陕西咸阳·校考三模）已知双曲线2222:10,0xyCabab的离心率为2，过双曲线C的右焦点F且垂直于x轴的直线l与双曲线交于,AB两点，且||2AB.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线m：1ykx与双曲线C的左、右两支分别交于,PQ两点，与双曲线的渐近线分别交于,MN两点，求||||PQMN的取值范围.变式15．（2023·全国·高三校联考开学考试）已知双曲线2222:10,0xyCabab的渐近线方程为yx，点1F，2F分别为双曲线C的左、右焦点，过2F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点A，且12AFF△的周长为821．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线1ykx与双曲线的左支、右支分别交于N，M两点，与直线yx，yx分别交于P，Q两点，求MNPQ的取值范围．题型五：三角形面积的取值范围问题例13．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1,0xyWabab，其左、右焦点分别为1F、2F，W上有一点P满足12π3FPF，123FPFS．(1)求b；(2)过1F作直线l交W于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为π4时，求22BCFEHFSS△△的取值范围．例14．（2023·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习）椭圆22122:10xyCabab的离心率为22，左、右焦点分别为1F，2F，上顶点为A，点1F到直线2AF的距离为2.(1)求1C的方程；(2)过点3,0Q的直线l交双曲线2221:Cxy右支于点M，N，点P在1C上，求PMN面积的取值范围.例15．（