重难点突破14 阿基米德三角形 （七大题型）（原卷版）

重难点突破14阿基米德三角形目录如图所示，AB为抛物线22(0)xpyp的弦，11(,)Axy，22(,)Bxy，分别过,AB作的抛物线的切线交于点P，称PAB△为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点00Cxy，，则另一顶点P的轨迹为一条直线．3、若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为38ap．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p．6、点P的坐标为1212,22xxxxp；7、底边AB所在的直线方程为121220;xxxpyxx8、PAB△的面积为3128PABxxSp．9、若点P的坐标为00,xy，则底边AB的直线方程为000xxpyy．10、如图1，若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与PA，PB分别交于点C，D，则||||||||||||ACCEPDCPEDDB.11、若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形PAB△的边PA，PB分别交于点C，D，则2EABPCDSS．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23．图1xyPBFAO题型一：定点问题例1．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点0,1A，0,1B，动点P满足PBABPABA．记点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设D为直线=2y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF过定点．例2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M恒过定点10,8F，圆心M到直线14y的距离为1,8ddMF．(1)求M点的轨迹C的方程；(2)过直线1yx上的动点Q作C的两条切线12,ll，切点分别为,AB，证明：直线AB恒过定点．例3．（2023·全国·高二专题练习）已知平面曲线C满足：它上面任意一定到10,2的距离比到直线32y的距离小1.(1)求曲线C的方程；(2)D为直线12y上的动点，过点D作曲线C的两条切线，切点分别为AB､，证明：直线AB过定点；(3)在（2）的条件下，以50,2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.变式1．（2023·陕西·校联考三模）已知直线l与抛物线2:2(0)Cxpyp交于A，B两点，且OAOB，ODAB，D为垂足，点D的坐标为(1,1)．(1)求C的方程；(2)若点E是直线4yx上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP，EQ，其中P，Q为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标．变式2．（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：2yax给出如下三个条件：①焦点为10,2F；②准线为12y；③与直线210y相交所得弦长为2．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；(2)已知ABQ是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．变式3．（2023·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线2:Cyax（a是常数）过点(2,2)P，动点1,2Dt，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；(2)当1t时，求直线AB的方程；(3)证明：直线AB过定点．变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知动点P在x轴及其上方，且点P到点(0,1)F的距离比到x轴的距离大1.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若点Q是直线4yx上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA､QB，其中A､B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标.题型二：交点的轨迹问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,Fc(0)c到直线:20lxy的距离为322．(1)求抛物线C的方程；(2)设点0(Px，0)y为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；(3)过（2）中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线1l，2l，求1l，2l交点M满足的轨迹方程．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4Cxy的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率32e．(1)求椭圆E的方程；(2)经过A、B两点分别作抛物线C的切线1l、2l，切线1l与2l相交于点M．证明：点M定在直线1y上；(3)椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线C的两条切线MA、(MBA、B为切点），使得直线AB过点F？若存在，求出切线MA、MB的方程；若不存在，试说明理由．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知动点Q在x轴上方，且到定点0,1F距离比到x轴的距离大1.（1）求动点Q的轨迹C的方程；（2）过点1,1P的直线l与曲线C交于A，B两点，点A，B分别异于原点O，在曲线C的A，B两点处的切线分别为1l，2l，且1l与2l交于点M，求证：M在定直线上.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知动点P与定点(1,0)F的距离和它到定直线:4lx的距离之比为12，记P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点(4,0)M的直线与曲线C交于,AB两点，,RQ分别为曲线C与x轴的两个交点，直线,ARBQ交于点N，求证:点N在定直线上．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知点F为抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，点M、N在抛物线上，且M、N、F三点共线.若圆22:(2)(3)16Pxy的直径为MN.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点F的直线l与抛物线交于点A，B，分别过A、B两点作抛物线C的切线1l，2l，证明直线1l，2l的交点在定直线上，并求出该直线.变式7．（2023·全国·高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．(1)圆222:Oxyr上点00,Mxy处的切线方程为．理由如下：．(2)椭圆22221(0)xyabab上一点00,xy处的切线方程为；(3)(,)Pmn是椭圆22:13xLy外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线AB的方程是．这是因为在11,Axy，22,Bxy两点处，椭圆L的切线方程为1113xxyy和2213xxyy．两切线都过P点，所以得到了1113xmyn和2213xmyn，由这两个“同构方程”得到了直线AB的方程；(4)问题（3）中两切线PA，PB斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()ynkxm，由22()33ynkxmxy，得222(13)6()3()30kxknkmxnkm，化简得Δ0，得222(3)210mxmnkn．若PAPB，则由这个方程可知P点一定在一个圆上，这个圆的方程为．（5）抛物线22(0)ypxp上一点00,xy处的切线方程为00()yypxx；（6）抛物线2:4Cxy，过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的两条切线1l和2l，设11,Axy，22,Bxy，则直线1l的方程为112()xxyy．直线2l的方程为222()xxyy，设1l和2l相交于点M．则①点M在以线段AB为直径的圆上；②点M在抛物线C的准线上．题型三：切线垂直问题例7．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C的方程为24xy，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为,AB.（1）若点P坐标为0,1，求切线,PAPB的方程；（2）若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直.例8．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C的方程为24xy，点P是抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为,AB，点M是AB的中点.（1）求证：切线PA和PB互相垂直；（2）求证：直线PM与y轴平行；（3）求PAB面积的最小值.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1和抛物线2有相同的焦点(1,0)，椭圆1的离心率为12，抛物线2的顶点为原点.(1)求椭圆1和抛物线2的方程；(2)设点P为抛物线2准线上的任意一点，过点P作抛物线2的两条切线PA，PB，其中,AB为切点.设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1C和抛物线2C有相同的焦点1,0，椭圆1C过点31,2G，抛物线2C的顶点为原点．1求椭圆1C和抛物线2C的方程；2设点P为抛物线2C准线上的任意一点，过点P作抛物线2C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．①设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值；②若直线AB交椭圆1C于C，D两点，PABS，PCDS分别是PAB，PCD的面积，试问：PABPCDSS是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．变式9．（2023·全国·高三专题练习）抛物级22(0)xpyp的焦点F到直线2py的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线1ykx交抛物线于11,Axy，22,Bxy两点，分别过A，B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：PFAB.变式10．（2023·河南驻马店·校考模拟预测）已知抛物线E：220xpyp的焦点为F，点P在E上，直线l：20xy与E相离．若P到直线l的距离为d，且PFd的最小值为322．过E上两点,AB分别作E的两条切线，若这两条切线的交点M恰好在直线l上．（1）求E的方程；（2）设线段AB中点的纵坐标为n，求证：当n取得最小值时，MAMB．题型四：面积问题例10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C的方程为220xpyp，点3,2Ax是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点Q为直线12y上的动点，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为D，E，求QDE△面积的最小值．例11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线22xpy上一点0,1Mx到其焦点F的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2ly上一点A作抛物线的两条切线AP，AQ，切点分别为P，Q，且直线PQ与y轴交于点N．设直线AP，AQ与x轴的交点分别为B，C，求四边形ABNC面积的最小值．例12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点到原点的距离等于直线:440lxy的斜率.（1）求抛物线C的方程及准线方程；（2）点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求PAB面积的最小值.变式11．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线2:2(0)Cypxp上的点R的横坐标为1，焦点为F，且||2RF，过点(4,0)P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为线段PA上的动点，过D作抛物线的切线，切点为E（异于点A，B），且直线DE交线段PB于点H.(1)