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重难点突破18定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题目录题型一：定比点差法例1．已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（0k）的直线与C相交于A，B两点，若3AFFB，求k例2．已知22194xy，过点(0,3)P的直线交椭圆于A，B（可以重合），求PAPB取值范围．例3．已知椭圆22162xy的左右焦点分别为1F，2F，A，B，P是椭圆上的三个动点，且11PFFA，22PFFB若2，求的值．变式1．设1F，2F分别为椭圆2213xy的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若125FAFB，求点A的坐标变式2．已知椭圆22:12Cxy，设过点2,2P的直线l与椭圆C交于A，B，点Q是线段AB上的点，且112PAPBPQ，求点Q的轨迹方程．题型二：齐次化例4．已知抛物线2:4Cyx，过点(4,0)的直线与抛物线C交于P，Q两点，O为坐标原点．证明：90POQ．例5．如图，椭圆22:12xEy，经过点(1,1)M，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点(0,1)A，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．例6．已知椭圆22:14xCy，设直线l不经过点2(0,1)P且与C相交于A，B两点．若直线2PA与直线2PB的斜率的和为1，证明：直线l过定点．变式3．已知椭圆22:13xCy，0,1B，P，Q为上的两个不同的动点，23BPBQkk，求证：直线PQ过定点．题型三：极点极线问题例7．（2023·全国·高三专题练习）椭圆方程2222:1(0)xyabab，平面上有一点00(,)Pxy．定义直线方程0022:1xxyylab是椭圆在点00(,)Pxy处的极线．已知椭圆方程22:143xyC．(1)若0(1,)Py在椭圆C上，求椭圆C在点P处的极线方程；(2)若00(,)Pxy在椭圆C上，证明：椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线；(3)若过点(4,0)P分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X，Y，割线交椭圆C于M，N两点，过点M，N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q．证明：Q，X，Y三点共线．例8．（2023·全国·高三专题练习）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：22220AxCyDxEyF，则称点P(0x，0y)和直线l：00000AxxCyyDxxEyyF是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0xx替换2x，以02xx替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(0x，0y)对应的极线方程.特别地，对于椭圆22221xyab，与点P(0x，0y)对应的极线方程为00221xxyyab；对于双曲线22221xybb，与点P(0x，0y)对应的极线方程为00221xxyyab；对于抛物线22ypx，与点P(0x，0y)对应的极线方程为00yypxx.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆C：22221(0)xyabab经过点P(4，0)，离心率是32，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；(2)已知Q是直线l：142yx上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当MTTN时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.例9．（2023秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M：22221xyab（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．变式4．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线229xy与椭圆2222:1(0)xyCabab共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为1A，2A，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线1AP与2AQ的斜率分别为1k，2k，且12105kk．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为32，且过点31,2，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线3x上的动点（不在x轴上），PA与椭圆E的另一交点为C，PB与椭圆E的另一交点为D，记直线PA与PB的斜率分别为1k，2k．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求12kk的值；（Ⅲ）证明：直线CD过一个定点，并求出此定点的坐标．题型四：蝴蝶问题例10．（2003·全国·高考真题）如图，椭圆的长轴12AA与x轴平行，短轴12BB在y轴上，中心为(0,)(0)Mrbr．(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；(2)直线1ykx交椭圆于两点11222,,,0CxyDxyy；直线2ykx交椭圆于两点33,Gxy，444,0Hxyy．求证：1122341234kxxkxxxxxx；(3)对于（2）中的中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：||||OPOQ（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）例11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1xyCab（0ab），四点11,1P，20,1P，331,2P，331,2P，431,2P中恰有三点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF.若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则MPMQ.该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆C中，弦AB的中点M的坐标为10,2，且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：MPMQ.例12．（2021·全国·高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆AB弦的中点M，任意作两弦CD和EF，CF与ED交弦AB于P、Q，求证：PMQM.变式6．（2023·全国·高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆M的方程为222xybr，直线xmy与圆M交于11,Cxy，22,Dxy，直线xny与圆M交于33,Exy，44,Fxy.原点O在圆M内.（1）求证：34121234yyyyyyyy.（2）设CF交x轴于点P，ED交x轴于点Q.求证：OPOQ.变式7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆2222:10xyCabab的左､右顶点分别为点A，B，且AB4，椭圆C离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN的交于点Q，求证：点Q在直线4x上.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：22xa＋22yb＝1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，点P31,2为椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．变式9．（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆222210xyCabab：的右焦点是230F，，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为83677，．(1)求椭圆C的方程；(2)已知0,Pb是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；(3)过点02aD，作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则12kk是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F，1BF，过F且斜率为(0)kk的直线l与椭圆C相交于M，N两点，M在x轴上方．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记AFM△，BFN的面积分别为1S，2S，若1232SS，求k的值；(3)设线段MN的中点为D，直线OD与直线4x相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为1k，2k，3k，求213()kkk的值．变式11．（2023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知点3(1,)2A在椭圆C：22221(0)xyabab上，O为坐标原点，直线l：22312xyab的斜率与直线OA的斜率乘积为14（1）求椭圆C的方程；（2）不经过点A的直线l：32yxt（0t且tR）与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R（与点A不重合），直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：AMAN.变式12．（2022·全国·高三专题练习）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆222xyr，与点00,xy对应的极线方程为200xxyyr，我们还知道如果点00,xy在圆上，极线方程即为切线方程；如果点00,xy在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆22221xyab，与点00,xy对应的极线方程为00221xxyyab.如上图，已知椭圆C：22143xy，4,Pt，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为；直线AB与OP交于点M，则sinPMB的最小值是.