重难点突破19 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质、三点共线问题（六大题型）（原卷版）

重难点突破19圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质、三点共线问题目录一、仿射变换问题仿射变换有如下性质：1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；3、其它不变关系．我们以椭圆为例阐述上述性质．椭圆222210xyabab，经过仿射变换xxayyb，则椭圆变为了圆222xya，并且变换过程有如下对应关系：（1）点00,Pxy变为00,aPxyb；（2）直线斜率k变为akkb，对应直线的斜率比不变；（3）图形面积S变为aSSb，对应图形面积比不变；（4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）；（5）弦长关系满足2211ABkABk，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变总结可得下表：变换前变换后方程222210xyabab222xya横坐标xx纵坐标yayyb斜率ykxayyabkkxxb面积12Sxy12aSxySb弦长21lkx222222221111akablkxkxlbk不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比二、非对称韦达问题在一元二次方程20axbxc中，若0，设它的两个根分别为12,xx，则有根与系数关系：1212,bcxxxxaa，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理2212121211,,xxxxxx之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及12,xx的不同系数的代数式的应算，比如求112122121232,2xxxxxxxxxx或12xx之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如112122122,,xxxxyxyx或12121212322xxxxxxxx之类中12,xx的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．三、光学性质问题1、椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）．【引理1】若点,AB在直线L的同侧，设点是直线L上到,AB两点距离之和最小的点，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点．【引理2】若点,AB在直线L的两侧，且点,AB到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点,AB距离之差最大的点，即PAPB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点．【引理3】设椭圆方程为222210xyabab，12,FF分别是其左、右焦点，若点D在椭圆外，则122DFDFa．2、双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）．【引理4】若点,AB在直线L的同侧，设点是直线L上到,AB两点距离之和最小的点，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点．【引理5】若点,AB在直线L的两侧，且点,AB到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点,AB距离之差最大的点，即PAPB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点．【引理6】设双曲线方程为222210,0xyabab，12,FF分别是其左、右焦点，若点D在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则122DFDFa．3、抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行（或重合）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．【结论1】已知：如图，抛物线2:20Cxpyp，0,2pF为其焦点，j是过抛物线上一点00,Dxy的切线，,AB是直线j上的两点（不同于点D），直线DC平行于y轴．求证：FDACDB．（入射角等于反射角）【结论2】已知：如图，抛物线2:20Cypxp，F是抛物线的焦点，入射光线从F点发出射到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴．四、三点共线问题证明三点共线问题常用方法是斜率法和向量法题型一：仿射变换问题例1．（2023·全国·模拟预测）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将2222:10xyCabab由仿射变换得：xxa，yyb，则椭圆22221xyab变为221xy，直线的斜率与原斜率的关系为akkb，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为55，过右焦点2F且垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点且855AB，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线1l、2l且12ll，切点分别为M、N．(1)求证：点P的轨迹方程为229xy；(2)若原点O到1l、2l的距离分别为1d、2d，延长表示距离1d、2d的两条直线，与椭圆C交于Y、W两点，试求：原点O在YW边上的射影Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．例2．（2023·河北邯郸·高二校考期末）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将2222:1(0)xyCabab由仿射变换得：xxa，yyb，则椭圆22221xyab变为221xy，直线的斜率与原斜率的关系为akkb，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为55，过右焦点2F且垂直于x轴的直线与C相交于,AB两点且855AB，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线1l，2l且12ll，切点分别为,MN．(1)求证：点P的轨迹方程为229xy；(2)若原点O到1l，2l的距离分别为1d，2d，延长表示距离1d，2d的两条直线，与椭圆C交于,YW两点，过O作OZYW交YW于Z，试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．例3．（2023·全国·高三专题练习）MN是椭圆222210xyabab上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则MNOPkk_________，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点，则AQBQkk_________．CD是该椭圆过原点O的一条弦，直线CQ，DQ斜率均存在，则CQDQkk_________．变式1．（2023·全国·高三专题练习）如图，作斜率为12的直线l与椭圆2214xy交于,PQ两点，且22,2M在直线l的上方，则△MPQ内切圆的圆心所在的定直线方程为__________________________．变式2．（2023·全国·高三专题练习）Р是椭圆22143xy上任意一点，O为坐标原点，2POOQ，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且QAQB，则PAB面积为______________．变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆22142xy交于M，N两点，当OMONkk______，MON△面积最大，并且最大值为______.记1122(,),(,)MxyNxy，当MON△面积最大时，2212xx_____﹐2212yy_______.Р是椭圆上一点，OPOMON，当MON△面积最大时，22______.变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:12xCy左顶点为A，,PQ为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线,OPOQ的斜率分别为12,kk且1212kk，,ADDFAEEQ（,是非零实数），求22______________.题型二：非对称韦达问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点是12FF、，左右顶点是12AA、，离心率是22，过2F的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且1FPQ的周长是42，直线1AP与2AQ交于点M.(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线1AP与2AQ交点M在一条定直线l上；(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：2PFPN是定值．例5．（2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知点A，B分别为椭圆2222:10xyEabab的左、右顶点，1F，2F为椭圆的左、右焦点，213AFAF，P为椭圆上异于A，B的一个动点，12PFF△的周长为12．(1)求椭圆E的方程；(2)已知点3,0M，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求证：当点P变化时，点N恒在一条定直线上．例6．（2023·陕西榆林·高二校联考期末）已知椭圆C：222210 xyabab的左､右焦点分别为1F，2F，离心率12e，P为C上一动点，12PFF△面积的最大值为3.(1)求C的方程；(2)若过2F且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，1A，2A分别为椭圆的左､右顶点，直线1AM，2AN分别与直线1l：1x交于T，Q两点，证明：四边形2OTAQ为菱形.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，短轴长为23．（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点4,0P且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．变式6．（2023·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆2222:10xyCabab的左、右顶点分别为1M、2M，短轴长为23，点C上的点P满足直线1PM、2PM的斜率之积为34．(1)求C的方程；(2)若过点1,0且不与y轴垂直的直线l与C交于A、B两点，记直线1MA、2MB交于点Q．探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．变式7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:=1(0)xyCabab的长轴长为4，且经过点(,3)be，其中e为椭圆C的离心率．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为,AB，直线l过C的右焦点F，且交C于,MN两点，若直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．变式8．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）已知椭圆C：222210xyabab的离心率为22，61,2H是C上一点.(1)求C的方程.(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点1,0D作斜率不为0的直线l，l与C交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为1k，BQ的斜率为2k.证明：①12kk为定值；②点M在定直线上.变式9．（2023·广西桂林·高二统考期末）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别是12,FF，点P是椭圆C上任一点，若12PFF△面积的最大值为3，且离心率12e．(1)求C的方程；(2)A，B为C的左、右顶点，若过点2F且斜率不为0的直线交C于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．变式10．（2023·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）已知椭圆C：222210xyaba