第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（六大题型）（讲义）（学生版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1第02讲空间点、直线、平面之间的位置关系目录资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2考点要求考题统计考情分析（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．2023年上海卷第15题，5分2022年上海卷第15题，5分2022年I卷第9题，5分2021年乙卷（文）第10题，5分本节内容是高考命题的热点，重点关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题．对于空间几何体的点、线、面的位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了截面问题，对考生的空间想象能力要求有所提升，需要考生有更强大的逻辑推理能力．知识点一．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．知识点二．直线与直线的位置关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号abPa∥b,,aAbAb公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号llPl∥公共点个数无数个10知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．位置关系平行相交（但不垂直）垂直资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4图形符号∥l，l公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上知识点五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”例1．（2023·山西大同·高一校考期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且::1:2BGGCDHHC，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上．例2．（2023·陕西西安·高一校考期中）（1）已知直线ab∥，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且13CFAEFBEB.求证：直线EH，BD，FG相交于一点.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5例3．（2023·河南信阳·高一校联考期中）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1,ABAA上的点，且12,2AFFABEAE.(1)证明：1,,,ECDF四点共面；(2)设1DFCEO，证明：A，O，D三点共线.变式1．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且::1:2BGGCDHHC.求证：(1)E､F､G､H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6变式2．（2023·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台1111ABCDABCD中，E，F，G，H分别为棱11AB，11BC，AB，BC的中点．(1)证明E，F，G，H四点共面；(2)证明GE，FH，1BB相交于一点．变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1ABAA，的中点．(1)求证：1CEDFDA，，三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是1DE上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．【解题方法总结】共面、共线、共点问题的证明（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．题型二：截面问题例4．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为23，动点P在对角线1BD上，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7过点P作垂直于1BD的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BPx，则当1,5x时，函数yfx的值域为（）A．36,66B．6,26C．0,6D．0,36例5．（2023·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E，F，G分别为线段11,,BCCCBB上的动点（不含端点），①异面直线1DD与AF所成角可以为π4②当G为中点时，存在点E，F使直线1AG与平面AEF平行③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为98④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等则上述结论正确的是（）A．①③B．②④C．②③D．①④例6．（2023·河南·模拟预测）在正方体1111ABCDABCD中，M，N分别为AD，11CD的中点，过M，N，1B三点的平面截正方体1111ABCDABCD所得的截面形状为（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形变式4．（2023·河南·模拟预测）在正方体1111ABCDABCD中，,MN分别为AD，11CD的中点，则下列结论正确的个数为（）①//MN平面11AACC；②1MNBC；③直线MN与1AC所成角的余弦值为223资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8④过1,,MNB三点的平面截正方体1111ABCDABCD所得的截面为梯形A．1B．2C．3D．4变式5．（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线1DD与1BF所成角的余弦值为55；②点P为正方形1111DCBA内一点，当//DP平面1BEF时，DP的最小值为322；③过点1D，E，F的平面截正方体1111ABCDABCD所得的截面周长为2132；④当三棱锥1BBEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为6．则正确的命题个数为（）A．1B．2C．3D．4变式6．（2023·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E是棱1CC的中点，过1,,ADE三点的截面把正方体1111ABCDABCD分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（）A．177B．137C．73D．74变式7．（2023·新疆·校联考二模）已知在直三棱柱111ABCABC-中，E，F分别为1BB，11AC的中点，12AA，2AB，32BC，4AC，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱111ABCABC-的截面，则所得截面的面积为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9A．10B．15C．25D．30变式8．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知M，N，P是正方体1111ABCDABCD的棱AB，1AA，1CC的中点，则平面MNP截正方体1111ABCDABCD所得的截面是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形变式9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）在棱长为3的正方体1111ABCDABCD中，点Р是侧面11ADDA上的点，且点Р到棱1AA与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与1BD垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（）A．92B．5C．132D．8【解题方法总结】（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．题型三：异面直线的判定例7．（2023·全国·高三对口高考）两条直线,ab分别和异面直线,cd都相交，则直线,ab的位置关系是（）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．可能是平行直线D．可能是异面直线，也可能是相交直线例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体1111ABCDABCD，点P在直线1AD上，Q为线段BD的中点，则下列命题中假命题为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10A．存在点P，使得11PQACB．存在点P，使得1//PQABC．直线PQ始终与直线1CC异面D．直线PQ始终与直线1BC异面例9．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在底面半径为1的圆柱1OO中，过旋转轴1OO作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（）A．AE=CF，AC与EF是共面直线B．AECF，AC与EF是共面直线C．AE=CF，AC与EF是异面直线D．AECF，AC与EF是异面直线变式10．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知正方体1111ABCDABCD中，M，N，P分别是棱11AD，11DC，AB的中点，Q是线段MN上的动点，则下列直线中，始终与直线PQ异面的是（）A．1ABB．1BCC．1CAD．1DD变式11．（2023·上海·高三校联考阶段练习）如图所示，正三棱柱111ABCABC-的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱1AA、AB、11AB的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（）A．直线1CQ与直线CP可能相交B．直线1CQ与直线CP始终异面C．直线1CQ与直线CP可能垂直D．直线1CQ与直线BP不可能垂直资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11变式12．（2023·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末）如图，在底面为正方形的棱台1111ABCDABCD中，E、F、G、H分别为棱1CC，1BB，CF，AF的中点，对空间任意两点M、N，若线段MN与线段AE、1BD都不相交，则称点M与点N可视，下列选项中与点D可视的为（）A．1BB．FC．HD．G【解题方法总结】判定空间两条直线是异面直线的方法如下：（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线．（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．题型四：异面直线所成的角例10．（2023·全国·高三专题练习）如图,在正方体1111ABCDABCD中,点E,F分别是棱AD,1CC的中点,则异面直线1AE与BF所成角的大小为．例11．（2023·高三课时练习）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的大小为．例12．（2023·新疆喀什·高三统考期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12（1）直线AF与直线DE相交；（2）直线CH与直线DE平行；（3）直线BG与直线DE是异面直线；（4）直线CH与直线BG成60角.变式13．（2023·全国·高三