第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（五大题型）（讲义）（学生版）

1第04讲直线、平面垂直的判定与性质目录2考点要求考题统计考情分析（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．（2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．2022年乙卷（文）第9题，5分2022年乙卷（文）第18题，12分2021年浙江卷第6题，4分2021年II卷第10题，5分选择题、填空题中考查直线、平面位置关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂直的证明．证明一些空间位置关系，利用性质定理、判定定理探究平行、垂直位置关系的存在性问题．知识点1：直线与平面垂直的定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,aballblabP3面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直abbba平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直//aa平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直//abba知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行////aaabb文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行//aa线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直,lala知识点4：平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若,CDCD，且,,ABBEABBE，则）__a__b_a_b_a_4一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直bb知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直abbba【解题方法总结】线线线面面面（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质(,)abab；⑦平行线垂直直线的传递性（,//acabbc）．（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；判定定理性质定理判定定理性质定理___a5②线面垂直的判定（,,,,abaccbbcPa）；③面面垂直的性质（,,,babaa）；平行线垂直平面的传递性（,//abab）；⑤面面垂直的性质（,,ll）．（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（,aa）．空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．题型一：垂直性质的简单判定例1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若,mnn∥，则mB．若,m∥，则mC．若,,mnn，则mD．若,,mnn，则m例2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）A．若//l，且//m，则lmB．若，//m，n，则//mnC．若//ml，且m，则lD．若mn，m，//n，则例3．（2023·陕西咸阳·统考二模）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若m∥n，n，则m∥，②若m，m，则，性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线∥面线∥线面∥面线⊥面线⊥线面⊥面6③若m，m，则∥，④若，m，n，则mn其中正确的命题是（）A．②③B．②④C．①③D．①②变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知,是两个不同的平面，,mn是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若,,mmn，则nB．若,,mn∥，则mn∥C．若,,mnmn，则D．若,,∥∥mmnn，则变式2．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形ABCD中，2,60,ABBAD对角线,ACBD交于点O，将ABD△沿BD折到ABD位置，使平面ABD平面BCD.以下命题:①BDAC；②平面AOC平面BCD；③平面ABC平面ACD；④三棱锥ABCD体积为1.其中正确命题序号为（）A．①②③B．②③C．③④D．①②④变式3．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是（）A．l，m，且lmB．l，m，n，且lm，lnC．m，n，//mn，且lmD．l，//lm，且m【解题方法总结】此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．题型二：证明线线垂直例4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，ABBC，11ABBC．7(1)证明：1ACBB；例5．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面,2ABCDPAADAB，点M是PD的中点.(1)证明：AMPC；例6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱111ABCABC-中，1112,2,90,ABACAAABACBACE是BC的中点，F是线段11AC上一点.(1)求证：ABEF；变式4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图8形，ADBC∥，ADAB，112ADABBC．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．(1)求证：BDPD；变式5．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知三棱柱111ABCABC-中，2ABAC，11122AABAAC，90BAC，E是BC的中点，F是线段11AC上一点.(1)求证：ABEF；(2)设P是棱1AA上的动点（不包括边界），当PBC的面积最小时，求棱锥PABC的体积.变式6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形ABCD中，//ABDC，90DAB，2CD，4ACAB，如图1.沿对角线AC将DAC△折起，使点D到达点P的位置，E为BC的中点，如图2.(1)证明：PEAC.9【解题方法总结】12()先看两直线位置关系三线合一有等腰三角形就必用共面勾股定理（题目中线段数据多）证明其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）异面考虑用线面垂直推导异面垂直找重垂线在重垂线对应平面内找垂直ll题型三：证明线面垂直(1)求证：AB平面11ADDA；(2)求四棱锥11CBDDB的体积.例7．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥POABC中，已知ππ1,2,4,,36OAOPCPABCPOABC，π2AOC.(1)证明：CO平面AOP；10例8．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥CABD中，CD平面ABD，E为AB的中点，2ABBCAC，2CGEG.(1)证明：AB平面CED；例9．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CDDE，CDDE，如图2，将ABE沿BE折起，使得A至1A处，且11ABAD．(1)证明：DE平面1ABE；变式7．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，在三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC．11(1)证明：BC平面PAB；变式8．（2023·广东广州·统考三模）如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与平面ABCD互相垂直，且1ABBCBF，3ADCD，2EF．(1)求证：BC平面CDE；变式9．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，平面11ACCA平面ABC，12,ACBCCCD是1AA的中点，且90,60ACBDAC.12(1)证明：1AA平面CBD；【解题方法总结】垂直关系中线面垂直是重点．线垂面哪里找线垂面有何用证明线面垂直常用两种方法．方法一：线面垂直的判定．线线垂直线面垂直，符号表示为：,,,,abacbcbcP，那么a．方法二：面面垂直的性质．面面垂直线面垂直，符号表示为：,,,baab，那么a．题型四：证明面面垂直例10．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BBCC为菱形，160CBB，2ABBC，12ACAB.(1)证明：平面1ACB平面11BBCC；例11．（2023·贵州贵阳·校联考三模）如图所示，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，//ABCD，①垂直两条相交线；②垂直里面作垂线；③直（正）棱柱的侧棱是垂线；④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.①垂直面里所有线（证线线垂直）；②过垂线作垂面（证面面垂直）.1312ABCD，CDCE，45ADCEDC，2AD，3BE.(1)求证：平面ABE平面ABCD；例12．（2023·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形ABCD与ADEF，222DEBCADABAF，ADAF，//EDAF，AD⊥AB，//BCAD，G是线段BF上一点.(1)平面ABCD⊥平面ABF变式10．（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体PABCD中，AD平面PAB，点C在平面PAB的投影在线段PB上BCPC，6BP，23ABAP，2DC，CD∥平面PAB.(1)证明：平面PCD平面PAD.14变式11．（2023·河北张家口·统考三模）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BBCC为菱形，1160,2,2CBBABBCACAB.(1)证明：平面1ACB平面11BBCC；变式12．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在长方体1111ABCDABCD中，122,4,ABBCAAP为棱AB的中点．(1)证明：平面1PCD平面1PDD；(2)画出平面1DPC与平面11AADD的交线，并说明理由；(3)求过1,,DPC三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．变式13．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，P为圆锥的顶点，A，B为底面圆O上两点，152π3AOB，E为PB中点，点F在线段AB上，且2AFFB.(1)证明：平面AOP平面OEF；变式14．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中，ACD与ACB△均是等