重难点突破03 立体几何中的截面问题（八大题型）（学生版）

1重难点突破03立体几何中的截面问题目录解决立体几何截面问题的解题策略．1、坐标法所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法．2、基底法所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，P为空间任意点，则有：结论1：若EG与EH不共线，那么EFEGEH；2结论2：(1)PEPFPGPH．3、几何法从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明．题型一：截面作图例1．（2023·全国·高一专题练习）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为6，M是11AB的中点，点N在棱1CC上，且12CNNC.作出过点D，M，N的平面截正方体1111ABCDABCD所得的截面，写出作法；例2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；(2)求平面与平面BDF的距离.3例3．（2023·全国·高一专题练习）（1）如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，M，N是棱11AB，11AD的中点，在图中画出过底面ABCD中的心O且与平面AMN平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；（2）作出平面PQR与四棱锥ABCDE的截面，截面多边形的边数为______．变式1．（2023·全国·高一专题练习）如图①，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，P为线段BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S.（1）若12CQ，请在图①中作出截面S（保留尺规作图痕迹）；（2）若1CQ（如图②），试求截面S将正方体分割所成的上半部分的体积1V与下半部分的体积2V之比.4变式2．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体1111ABCDABCD，点E为棱1CC的中点.(1)证明：1//AC平面BDE.(2)证明：1ACBD.(3)在图中作出平面1BED截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并说明位置)，并说明理由.变式3．（2023·江苏·高一专题练习）已知正方体1111ABCDABCD是棱长为1的正方体，M是棱1AA的中点，过C、1D、M三点作正方体的截面，作出这个截面图并求出截面的面积．题型二：截面图形的形状、面积及周长问题例4．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（）5①当102CQ时，S为四边形；②当12CQ=时，S为等腰梯形；③当34CQ=时，S与11CD的交点1R满足1113CR；④当314CQ时，S为六边形；A．1B．2C．3D．4例5．（2023·四川成都·高二双流中学校考期中）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1,,MN为线段1,BCCC上的动点，过点1,,AMN的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的个数是（）①当0BM且01CN时，S为等腰梯形；②当MN，分别为1,BCCC的中点时，几何体11ADMN的体积为112；③当M为BC中点且34CN时，S与11CD的交点为R，满足116CR；④当M为BC中点且01CN时，S为五边形.A．1B．2C．3D．4例6．（2023·全国·高一专题练习）如图正方体1111ABCDABCD，棱长为1，P为BC中点，Q为线段1CC上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若1CQCC，则下列结论错误的是（）6A．当102,时，为四边形B．当12时，为等腰梯形C．当3,14时，为六边形D．当1时，的面积为62变式4．（2023·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD中，点E、F、G分别是棱AB、BC、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于．变式5．（2023·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线AC上的点P（如图），且与平面11BCD平行，已知110cmAA，6cmAP，则截面面积等于2cm.7变式6．（2023·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）正方体1111ABCDABCD的棱长是a，其中E是CD中点，F是1AA中点，则过点1,,EFB的截面面积是．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱111ABCABC-的侧棱长为2，ABBC，2ABBC，过AB，1BB的中点E，F作平面与平面11AACC垂直，则所得截面周长为．变式8．（2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点E为棱BC的中点，则过1B，E，D三点的平面截正方体的截面周长为．变式9．（2023·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD，中，点E为CD的中点，则过点C且与1BE垂直的平面被正方体1111ABCDABCD截得的截面周长为．题型三：截面切割几何体的体积问题例7．（2023·广东广州·高一统考期末）在棱长为a的正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为棱BC，1CC的中点，过点A，E，F作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体积较小的多面体的体积为.例8．（2023·辽宁锦州·校考一模）在正四棱锥SABCD中，M为SC的中点，过AM作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为12,VV，则21VV的最大值是.例9．（2023·浙江·高二竞赛）在正四棱锥SABCD中，M在棱SC上且满足2SMMC.过AM作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为1V，2V，则21VV的最大值为.变式10．（2023·上海·高二专题练习）如图，正方体1111ABCDABCD，中，E､F分别是棱AB､BC的中点，过点1D､E､F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为12,VV，记12VV，则12:VV.8变式11．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个三棱锥CADD，则三棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为.变式12．（2023·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）在三棱柱111ABCABC-中，1AA底面ABC，112ABBCCAAA，点P是棱1AA上的点，12APPA，若截面1BPC分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为.变式13．（2023·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）如图，正方体1111ABCDABCD中，E､F分别是棱11AB､11CD的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比12:VV.题型四：球与截面问题例10．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，,MN分别为棱111,ADDD的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（）9A．π6B．π4C．3π8D．π2例11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形ABCD中，3,4ABAD，将ABD△沿对角线BD翻折至ABD的位置，使得平面ABD平面BCD，则在三棱锥ABCD的外接球中，以AC为直径的截面到球心的距离为（）A．43510B．625C．23910D．11310例12．（2023·海南·高三校联考期末）已知某球的体积为32π3，该球的某截面圆的面积为3π，则球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为（）A．1B．3C．23D．52变式14．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，E为棱1CC上的一点，且满足平面BDE平面1ABD，则平面1ABD截四面体ABCE的外接球所得截面的面积为（）A．136B．2512C．83D．23变式15．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥ABCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC，2AB，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）A．3π4B．2π3C．π2D．π4变式16．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知半径为4的球O，被两个平面截得圆12OO､，记两圆的公共弦为AB，且122OO，若二面角12OABO的大小为2π3，则四面体12ABOO的体积的最大值为（）A．83B．429C．829D．439变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知球O和正四面体ABCD，点BCD､､在球面上，底面BCD过球心O，棱ABACAD､､分别交球面于111BCD､､，若球的半径3R，则所得多面体111BCDBCD的体积为（）10A．928B．924C．23212D．1326变式18．（2023·天津红桥·统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．43π3B．42π3C．83π3D．82π3题型五：截面图形的个数问题例13．（2023·全国·高三专题练习）过正四面体PABC的顶点P作平面，若与直线PA，PB，PC所成角都相等，则这样的平面的个数为（）个A．3B．4C．5D．6例14．（2023·陕西榆林·陕西省榆林中学校考三模）过正方体1111ABCDABCD的顶点A作平面，使得正方体的各棱与平面所成的角都相等，则满足条件的平面的个数为（）A．1B．3C．4D．6例15．（2023·全国·高三专题练习）设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面A．有无数多个B．恰有4个C．只有1个D．不存在变式19．（2023·浙江·模拟预测）过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75，这样的截面有（）A．6个B．12个C．16个D．18个变式20．（2023·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个题型六：平面截圆锥问题例16．（多选题）（2023·广东·高二统考期末）圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与和圆锥轴截面半顶角有如下关系,0,2；当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当0时，截口曲线为双曲线.（如左图）11现有一定线段AB与平面夹角（如上右图），B为斜足，上一动点P满足BAP，设P点在的运动轨迹是，则（）A．当4，6时，是椭圆