重难点突破06 立体几何解答题最全归纳总结（九大题型）（学生版）

1重难点突破06立体几何解答题最全归纳总结目录2题型一：非常规空间几何体为载体例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱台1111ABCDABCD的体积为2823，其中1124ABAB.(1)求侧棱1AA与底面ABCD所成的角；(2)在线段1CC上是否存在一点P，使得1BPAD？若存在请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.例2．（2023·全国·高三专题练习）在三棱台ABCDEF中，G为AC中点，2ACDF，ABBC，BCCF.(1)求证：BC平面DEG；(2)若2ABBC，CFAB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为π3，求三棱锥EDFG的体积.例3．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，在正四棱台1111ABCDABCD中，112ABAB，13AA，M，N为棱11BC，11CD的中点，棱AB上存在一点E，使得1//AE平面BMND．3(1)求AEAB；(2)当正四棱台1111ABCDABCD的体积最大时，求1BB与平面BMND所成角的正弦值．变式1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台111-ABCABC中，112AB，4ABAC，115AACC，13BB，π2BAC．(1)证明：平面11AACC⊥平面ABC；(2)设D是BC的中点，求平面11AACC与平面1AAD夹角的余弦值．变式2．（2023·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习）如图，圆锥PO的高为3，AB是底面圆O的直径，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且22ABCD，点E是母线PB上一动点.4(1)证明：平面ACE平面POD；(2)若二面角AECB的余弦值为130130，求三棱锥AECD的体积.变式3．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，P为圆锥的顶点，A，B为底面圆O上两点，2π3AOB，E为PB中点，点F在线段AB上，且2AFFB.(1)证明：平面AOP平面OEF；(2)若OPAB，求直线AP与平面OEF所成角的正弦值.变式4．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，四边形ABCD是圆O的内接四边形，BD为底面圆的直径，M在母线PB上，且2ABBCBM，4BD，23MD．5(1)求证：平面AMC平面ABCD；(2)设点E为线段PO上动点，求直线CE与平面ADM所成角的正弦值的最大值．变式5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，线段1AA是圆柱1OO的母线，ABC是圆柱下底面⊙O的内接正三角形，13AAAB．(1)劣弧BC上是否存在点D，使得1//OD平面1AAB？若存在，求出劣弧BD的长度；若不存在，请说明理由．(2)求平面1CBO和平面1BAA所成角的正弦值．题型二：立体几何存在性问题例4．（2023·全国·高三对口高考）如图，如图1，在直角梯形ABCD中，90,30,2,4ABCDABCABBCAD．把DAC△沿对角线AC折起到PAC△的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，AB的中点．6(1)求证：平面EFH//平面PBC；(2)求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在一点M，使得M到点,,,PHAF四点的距离相等？请说明理由．例5．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知ABC和ADEV所在的平面互相垂直，ADAE，2AB，4AC，120BAC，D是线段BC的中点，3AD.(1)求证：ADBE；(2)设2AE，在线段AE上是否存在点F（异于点A），使得二面角ABFC的大小为45.例6．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在ABC中，90B??，P为AB边上一动点，//PDBC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA.(1)证明：平面CBA平面PBA；(2)若24PBCBPD，且APAP，线段AC上是否存在一点E（不包括端点），使得锐二面角EBDC7的余弦值为31414，若存在求出AEEC的值，若不存在请说明理由.变式6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形ABCD为筝形，其对角线交点为,2,2OABBDBC，将ABD△沿BD折到ABD的位置，形成三棱锥ABCD．(1)求B到平面AOC的距离；(2)当1AC时，在棱AD上是否存在点P，使得直线BA与平面POC所成角的正弦值为14？若存在，求APAD的值；若不存在，请说明理由．变式7．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱111ABCABC-的各棱长都为14,60AAB，点1A在下底面ABC的投影为AB的中点O.(1)在棱1BB（含端点）上是否存在一点D使11ADAC？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点1A到平面11BCCB的距离.8变式8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，△PAD为等边三角形，AD//BC，22ADCDBC，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．(1)求证：BC∥l；(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求PGPC的值，若不存在，说明理由．变式9．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥P-ABC中，若已知PABC，PBAC，点P在底面ABC的射影为点H，则(1)证明：PCAB(2)设2PHHAHBHC，则在线段PC上是否存在一点M，使得BM与平面PAB所成角的余弦值为45，若存在，设CMCP，求出的值，若不存在，请说明理由.变式10．（2023·浙江·校联考模拟预测）在四棱锥EABCD中，底面ABCD为矩形，22ADAB，EAD为等腰直角三角形，平面EAD平面ABCD，G为BC中点.9(1)在线段AD上是否存在点Q，使得点Q到平面EGD的距离为32.若存在，求出DQ的值；若不存在，说明理由；(2)求二面角DECB的正弦值.变式11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥PABC中，侧面PAC是边长为2的正三角形，4BC，25AB，,EF分别为,PCPB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l.(1)证明：//l平面PBC.(2)若三棱锥PABC的体积为433，试问在直线l上是否存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线,PQEF所成角为，且满足π2？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由.变式12．（2023·安徽淮北·统考二模）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，260,,2ABCPCBDPAABPB.10(1)证明：PA面ABCD；(2)线段PD上是否存在点E，使平面ACE与平面PAB夹角的余弦值为3913？若存在，指出点E位置；若不存在，请说明理由.题型三：立体几何折叠问题例7．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中，ABC为等腰直角三角形，90B??，22AB，ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且2ECBE，沿AC将ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得4FB．(1)证明：FO平面ABC．(2)求二面角EFAC的余弦值．例8．（2023·广东深圳·校考二模）如图1所示，等边ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将ABC沿CD折叠，如图2所示.11(1)证明：CDEF；(2)折叠后若ABa=，求二面角ABDE-的余弦值.例9．（2023·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图甲所示的正方形''11AAAA中，11112,3,AAABAB114,BCBC对角线'1AA分别交11,BBCC于点,PQ，将正方形''11AAAA沿11,BBCC折叠使得1AA与''1AA重合，构成如图乙所示的三棱柱111.ABCABC(1)若点M在棱AC上，且157AM，证明：BM∥平面APQ；(2)求二面角1APQA的余弦值.变式13．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知如图甲所示，直角三角形SAB中，90ABS，6ABBS，C，D分别为SB，SA的中点，现在将SCD沿着CD进行翻折，使得翻折后S点在底面ABCD的投影H在线段BC上，且SC与平面ABCD所成角为3，M为折叠后SA的中点，如图乙所示.12(1)证明：//DM平面SBC；(2)求平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值.变式14．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形BCDE中，//BCDE，BCCD，A为DE的中点，且24DEBC，22BE，将ABE沿AB折起，使得点E到达P处（P与D不重合），记PD的中点为M，如图2．(1)在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由；(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值．变式15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中，,,6,24ABADADBCADBCAB∥，E，F分别在BC，AD上，EFAB∥，现将四边形ABCD沿EF折起，使BEEC．13(1)若3BE，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得//CP平面ABEF？若存在，求出APPD的值；若不存在，说明理由．(2)求三棱锥ACDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离．变式16．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形MABC中，ABC是等腰直角三角形，90,ACBMAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将MAC△向一方折叠到DAC△的位置，使D点在平面ABC内的射影在AB上，再将MAC△向另一方折叠到EAC的位置，使平面EAC平面ABC，形成几何体DABCE.（1）若点F为BC的中点，求证：//DF平面EAC；（2）求平面ACD与平面BCE所成角的正弦值.变式17．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图1，在梯形ABCD中，//ABCD，且24ABCD，ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边.若把ACD沿AC边折叠到ACP△的位置，使平面PAC平面ABC，如图2.（1）证明：ABPA；（2）若E为棱BC的中点，求点B到平面PAE的距离.14变式18．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）如图1，四边形ABCD为直角梯形，//ADBC，ADAB，60BCD，23AB，3BC，E为线段CD上一点，满足BCCE，F为BE的中点，现将梯形沿BE折叠（如图2），使平面BCE平面ABED.（1）求证：平面ACE平面BCE；（2）能否在线段AB上找到一点P（端点除外）使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.题型四：立体几何作图问题例10．（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知正四棱锥PABCD中，O为底面ABCD的中心，如图所示．(1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由；(2)设PD的中点为G，PAAB，求AG与平面PAB所成角的正弦值．15例11．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体1111ABCDABCD的底面ABCD是菱形，112CDCCAC，π3DCB，且113coscos4CCDCCB.(1)试在平面ABCD内过点C作直线l，使得直线//l平面1CBD，说明作图方法，并证明：直线11lBD∥；(2)求平面1BCD与平面11ABD所成锐二面角