重难点突破04 立体几何中的轨迹问题（六大题型）（学生版）

1重难点突破04立体几何中的轨迹问题目录立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：1、定义法2、交轨法3、几何法4、坐标法5、向量法题型一：由动点保持平行求轨迹例1．（2023·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点E是棱11AB的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：2①如果1AMBD，则点M的轨迹所围成图形的面积为32；②如果1BM∥平面1AEC，则点M的轨迹所围成图形的周长为352；③如果EM∥平面11DBBD，则点M的轨迹所围成图形的周长为22；④如果1EMBD，则点M的轨迹所围成图形的面积为334．其中正确的命题个数为（）A．1B．2C．3D．4例2．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E在棱1DD上且满足1DEED，点F是侧面11ABBA上的动点，且1//DF面AEC，则动点F在侧面11ABBA上的轨迹长度为．例3．（2023·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方体1111-ABCDABCD中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面11BCCB内（包括边界）一动点，且1DP∥平面EFG，则P点的轨迹长度为变式1．（2023·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三棱柱111ABCABC-中，1ABAA，D，E分别为1AA，AC的中点．若侧面11BBCC的中心为O，M为侧面11AACC内的一个动点，//OM平面BDE，且M的轨迹长度为32，则三棱柱111ABCABC-的表面积为．3变式2．（2023·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点E是线段1DD的中点，点M是正方形11BBCC所在平面内一动点，若1//DM平面1ABE，则M点轨迹在正方形11BBCC内的长度为.变式3．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）正方体1111ABCDABCD的棱长为3，点E，F分别在线段1DD和线段1AA上，且12DEED，12AFFA，点M是正方形11BBCC所在平面内一动点，若1//DM平面FBE，则M点的轨迹在正方形11BBCC内的长度为.变式4．（2023·全国·高三专题练习）在边长为2的正方体1111ABCDABCD中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM//平面1ADC，则动点M的轨迹所形成区域的面积是．变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2,EF､分别是棱111,AAAD的中点，点P为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线1DP与平面BEF无公共点，则点P在四4边形ABCD内运动所形成轨迹的长度为.变式6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体1111ABCDABCD的棱长为2,EF､分别为1AA，AB的中点，点P是正方体表面上的动点，若1CP平面1CDEF，则点P在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为3的正四面体ABCD，E为AD的中点，动点P满足2PAPD，平面经过点D，且平面//平面BCE，则平面截点P的轨迹所形成的图形的周长为.题型二：由动点保持垂直求轨迹例4．（2023·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）在棱长为4的正方体1111ABCDABCD中，点P、Q分别是1BD，11BC的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为.例5．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）在正四棱柱1111ABCDABCD中，114，ABAA，E为1DD中点，P为正四棱柱表面上一点，且11CPBE，则点P的轨迹的长为.例6．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知N为正方体1111ABCDABCD的内切球球面上的动点，M为11BC的中点，DNMB，若动点N的轨迹长度为85π5，则正方体的体积是.5变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱111ABCABC-的所有棱长均为4，空间内的点H满足1HAHA，且1HBHC，则满足条件的H所形成曲线的轨迹的长度为.变式9．（2023·四川成都·三模）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知π3AOC，2OA，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足0BCCD，则点D的轨迹所围成图形的面积为．变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知π,23AOCOA，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足BCAD，则点D的轨迹所围成图形的面积为．变式11．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，13BCCC，4AC，ACBC，动点P在111ABC△内（包括边界上），且始终满足1BPAB，则动点P的轨迹长度是.6变式12．（2023·山东枣庄·高一统考期末）M，N分别是棱长为1的正方体1111ABCDABCD的棱111,CCAB的中点，点P在正方体的表面上运动，总有MPBN，则点P的轨迹所围成图形的面积为.变式13．（2023·四川广元·高二广元中学校考期中）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知2AOC，2OA，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足BCAD，则点D的轨迹所围成图形的面积为．变式14．（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点M是棱11BC的中点，点P是正方体表面上的动点．若1DMCP，则P点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（）A．25B．225C．225D．2225题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹例7．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点Q为侧面11BBCC7内一动点（含边界），若152DQ，则点Q的轨迹长度为．例8．（2023·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校联考期末）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为3，动点P在1ABCV内，满足114DP，则点P的轨迹长度为.例9．（2023·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点P在该正方体的表面ABCD上运动，且2PA则点P的轨迹长度是．变式15．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且42PA，则点P的轨迹长度是．变式16．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且AMB为等边三角形，空间中的动点P满足2PAPB，当点P在AMB所在的平面内运动时，点P的轨迹是；当P在该球的球面上运动时，点P的轨迹长度为.变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱柱1111ABCDABCD的体积为16，E是棱BC的中点，P是侧棱1AA上的动点，直线1CP交平面11EBD于点P，则动点P的轨迹长度的最小值为．变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为8的正方体111ABCDABCD中，平面ABCD内一点E满足14BECB，点P为正方体表面一动点，且满足22PE，则动点P运动的轨迹周长为．变式19．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为．8变式20．（2023·河南许昌·高三统考阶段练习）三棱锥PABC的体积为43，底面三角形ABC是边长为23的正三角形且其中心为1O，三棱锥PABC的外接球球心O到底面ABC的距离为2，则点P的轨迹长度为.变式21．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥PABC中，,4,2,3PAABPAPCAB，二面角PABC--的大小为30，在侧面PAB内(含边界)有一动点M，满足到PA的距离与到平面ABC的距离相等，则动点M的轨迹的长度为．题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹例10．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DEAB，8DC，6DE.沿着DE将ADEV折起，使A到达点A的位置，且平面ADE平面ADE.设P为ADE内的动点，若EPBDPC，则P的轨迹的长度为.例11．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体1111ABCDABCD中，点M是线段BC的中点，P是正方形11DCCD（包括边界）上运动，且满足APDMPC，则P点的轨迹周长为.例12．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，M为棱11BC的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为π3，则动点N的轨迹的长度为．变式22．（2023·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点E9为平面1ABD内的动点，设直线AE与平面1ABD所成的角为，若310sin10，则点E的轨迹所围成的周长为．变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是棱长为2的正方体1111ABCDABCD的表面上一个动点，若使2AP的点P的轨迹长度为a；使直线AP∥平面BDC的点P的轨迹长度为b；使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为c．则a，b，c的大小关系为．（用“＜”符号连接）变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCDABCD中，23AB，点E为平面1ABD内的动点，设直线AE与平面1ABD所成的角为，若25sin5，则点E的轨迹所围成的面积为．变式25．（2023·山西大同·高一统考期中）已知,,,ABCP是半径为2的球面上的四点，且2,ABACABAC==^．二面角PBCA的大小为π4，则点P形成的轨迹长度为．变式26．（2023·贵州铜仁·高二统考期末）粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的粽子不仅馅料丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方体形、圆锥形等，但最常见的还是“四角粽子”，其外形近似于正三棱锥．因为将粽子包成这样形状，既可以节约原料，又不失饱满，而且十分美观．如图，假设一个粽子的外形是正三棱锥PABC，其侧棱和底面边长分别是8cm和6cm，O是顶点P在底面ABC上的射影．若D是底面ABC内的动点，且直线PD与底面ABC所成角的正切值为2393，则动点D的轨迹长为．变式27．（2023·广东佛山·高二校联考期中）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点P为正方形1111DCBA内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为60的点P的轨迹长度为（）10A．33B．3π6C．3D．3π2变式28．在正方体1111ABCDABCD中，动点M在底面ABCD内运动且满足11DDADDM，则动点M在底面ABCD内的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线一支的一部分D．前三个答案都不对题型五：投影求轨迹例13．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）如图，在ABC中，90ABC，1AB，2BC，D为线段BC（端点除外）上一动点.现将ABD△沿线段AD折起至ABDV，使二面角BADC的大小为120°，则在点D的移动过程中，下列说法错误的是（）A．不存在点D，使得CBABB．点B在平面ABC上的投影轨迹是一段圆弧C．BA与平面ABC所成角的余弦值的取值范围是10,15D．线段CB的最小值是3例14．（2023·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段