重难点突破05 立体几何中的常考压轴小题（七大题型）（学生版）

1重难点突破05立体几何中的常考压轴小题目录题型一：球与截面面积问题例1．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为62的正三角形，3PAPE，3BABF，90CEF，过点E作球O的截面，截面面积最小值为（）A．8πB．16πC．27πD．40π例2．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，4ABBCCDDA，22ACBD，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下2结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为1633；③过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3例3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥ABCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC，2AB，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）A．π2B．π3C．4D．π6变式1．（2023·宁夏银川·校联考二模）2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一届世界杯是1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知半径为3的某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，ACBC，4ACBC，6PC，则该鞠（球）被平面PAB所截的截面圆面积为（）A．7πB．23π3C．8πD．25π3变式2．（2023·全国·高三专题练习）在正方体1111ABCDABCD中，2,,ABMN分别为,ADBC的中点，该正方体的外接球为球O，则平面1AMN截球O得到的截面圆的面积为（）A．6π5B．7π5C．12π5D．14π5变式3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知球O内切于正方体1111ABCDABCD，P，Q，M，N分别是1111BCCDCDBC,,,的中点，则该正方体及其内切球被平面MNPQ所截得的截面面积之比为（）A．42:πB．22:πC．32:πD．4:π变式4．（2023·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为O的球面上，点E在AB上，13AEABuuuruuur，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（）A．8πB．10πC．16πD．24π题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题3例4．（2023·福建三明·高一校考阶段练习）如图，在正方体1111ABCDABCD中，2AB，M，N分别为11AD，11BC的中点，E，F分别为棱AB，CD上的动点，则三棱锥MNEF的体积（）A．存在最大值，最大值为83B．存在最小值，最小值为23C．为定值43D．不确定，与E，F的位置有关例5．（2023·四川成都·校考模拟预测）如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD为正方形，1AA底面ABCD，12AAAB，M､N分别是棱1BB､1DD上的动点，且1DNBM，则下列结论中正确的是（）A．直线1AC与直线MN可能异面B．三棱锥11ACMN的体积保持不变C．直线AC与直线MN所成角的大小与点M的位置有关D．直线AD与直线MN所成角的最大值为π3例6．（多选题）（2023·福建三明·统考三模）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点E是1AA的中点，点F是侧面11ABBA内一动点，则下列结论正确的为（）4A．当F在1AB上时，三棱锥1FCDE的体积为定值B．CE与BF所成角正弦的最小值为23C．过1D作垂直于CE的平面截正方体1111ABCDABCD所得截面图形的周长为62D．当1DFCE时，BCF△面积的最小值为255变式5．（多选题）（2023·广东梅州·统考三模）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，1O为四边形1111DCBA的中心，P为线段1AO上的一个动点，Q为线段1CD上一点，若三棱锥QPBD的体积为定值，则（）A．12DQQCB．1DQQCC．12OQD．13OQ变式6．（多选题）（2023·山西大同·高三统考阶段练习）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，线段11BD上有两个动点,EF，且2EF，以下结论正确的有（）A．2EFABB．1ACAEC．正方体1111ABCDABCD的体积是三棱锥ABEF的体积的12倍D．异面直线,AEBF所成的角为定值变式7．（多选题）（2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，AA1=1，点P满足1BPBCBB，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列选项正确的是（）5A．当λ=1时，△AB1P的周长为定值B．当μ=1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当12时，有且仅有两个点P，使得A1P⊥BPD．当12时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P变式8．（多选题）（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P满足1BPBCBB，其中0,1,0,1，则（）A．3APB．当12时，有且仅有一个点P，使得AP平面1ABDC．当12时，有且仅有一个点P，使得1APAB∥D．当12时，三棱锥1PABD的体积为定值变式9．（多选题）（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，ABCDABCD为正方体.任作平面与对角线AC垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（）6A．S为定值B．S不为定值C．l为定值D．l不为定值变式10．（多选题）（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知三棱锥PABC，2,3PABCPBACPCAB，D为棱PC上一点，且PDDC，过点D作平行于直线PA和BC的平面，分别交棱,,PBABAC于,,EFG．下列说法正确的是（）A．四边形DEFG为矩形B．四边形DEFG的周长为定值C．四边形的DEFG面积为定值D．当1时，平面分三棱锥PABC所得的两部分体积相等变式11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）在正方体1111ABCDABCD中，点P满足1BPBCBB，其中0,1，0,1，则下列说法正确的是（）A．当时，1AP∥平面1ACDB．当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C．当1时，△PBD的面积为定值D．当1时，直线1AD与1DP所成角的取值范围为,32题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题例7．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,ABCDABEF的边长均为2，活动弹子N在线段AB上移动（包含端点），弹子,MO分别固定在线段,EFAC的中点处，且7MO平面ABCD，则当MNO取最大值时，多面体MBCON的体积为（）A．32B．332C．33D．233例8．（2023·山东青岛·高三统考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36π，则该正四棱锥的体积最大值为（）A．18B．643C．814D．27例9．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为22,P是正方形11BBCC（含边界）内的动点，点P到平面1ABD的距离等于263，则,DP两点间距离的最大值为（）A．23B．3C．32D．26变式12．（2023·河南·校联考模拟预测）点P是圆柱上底面圆周上一动点，ABC是圆柱下底面圆的内接三角形，已知在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2c，60C，三棱锥PABC的体积最大值为233，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．19π3B．28π3C．53π9D．433π变式13．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，AB是半球的直径，O为球心，2,ABP为此半球大圆弧上的任意一点（异于,),ABP在水平大圆面AOB内的射影为Q，过Q作QRAB于R，连接,PROP，若二面角PABQ的大小为3，则三棱锥POQR的体积的最大值为（）8A．136B．124C．342D．348变式14．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）圆锥1OO的底面半径为1，母线长为2，OAB是圆锥1OO的轴截面，F是OA的中点，E为底面圆周上的一个动点（异于A、B两点），则下列说法正确的是（）A．存在点E，使得EFEBB．存在点E，使得//EFOBC．三棱锥FABE体积最大值为36D．三棱锥1FAOE体积最大值为36变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为5，高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论：①三角形SPQ面积的最大值为2；②三棱锥OSPQ体积的最大值为23；③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为9π．以上所有正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3变式16．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体PABC中，O为PB的中点，点D在以O为球心的球上运动，2PBOD，且恒有PDBD，已知三棱锥DABC的体积的最大值为18236，则正四面体PABC外接球的体积为（）A．1083πB．1242πC．1322πD．1443π变式17．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且22BCAB，现将ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A．存在点P，使得PECF∥B．存在点P，使得PEEDC．三棱锥PAED的体积最大值为26D．当三棱锥PAED的体积达到最大值时，三棱锥PAED外接球表面积为4π9变式18．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，圆台12OO的上、下底面圆半径分别为1、2，高1222OO，点S、A分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（）A．该圆台的体积为1423πB．直线SA与直线12OO所成角最大值为π3C．该圆台有内切球，且半径为2D．直线1AO与平面12SOO所成角正切值的最大值为22变式19．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，P为底面1111DCBA的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高2,22h，点M到平面PCD的距离的最大值为（）A．263B．83C．423D．329变式20．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知A，B，C，D是体积为205π3的球体表面上四点，若4AB，2AC，23BC，且三棱锥A－BCD的体积为23，则线段CD长度的最大值为（）A．23B．32C．13D．25变式21．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形EFGH的中心为正方形ABCD的中心，22AB，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥PEFGH（A，B，C，D四点重合于点P），则此四棱锥的体积的最大值为（）10A．1286375B．1285375C．43D．153变式22．（2023·安徽黄山·统考二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形1PEE，111,,PFFPGGPHH，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥PEFGH，使E与1E重合，F与1F重合，G与1G重合，H与1H重合，点,,,ABCD重