第05讲 古典概型与概率的基本性质（八大题型）（讲义）（原卷版）

第05讲古典概型与概率的基本性质目录考点要求考题统计考情分析（1）理解古典概型及其概率计算公式．（2）会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率．2023年乙卷（文）第9题，5分2023年甲卷（文）第4题，5分2022年I卷第5题，5分2020年II卷第4题，5分本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．经常出应用型题目，与生活实际相结合，要善于寻找合理的数学语言简化语言描述，凸显数学关系，通过分析随机事件的关系，找到适合的公式计算概率．但整体而言，本节内容在高考中的难度处于中等偏易．知识点1、随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用()PA表示．知识点2、古典概型（1）定义一般地，若试验E具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率nAkPAnn．知识点3、概率的基本性质（1）对于任意事件A都有：0()1PA．（2）必然事件的概率为1，即()=1P；不可能事概率为0，即()=0P．（3）概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则()()()PABPAPB．推广：一般地，若事件1A，2A，…，nA彼此互斥，则事件发生（即1A，2A，…，nA中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：1212(...)()()...()nnPAAAPAPAPA．（4）对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则()1()PAPB，()1()PBPA，且()()()1PABPAPB．（5）概率的单调性：若AB，则()()PAPB．（6）若A，B是一次随机实验中的两个事件，则()()()()PABPAPBPAB．【解题方法总结】1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2、解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式()APA包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A的概率．3、解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．题型一：简单的古典概型问题例1．（2023·高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（）①从区间1,10内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A．1B．2C．3D．4例2．（2023·全国·高一专题练习）下列关于古典概型的说法正确的是（）①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则()kPAn.A．②④B．②③④C．①②④D．①③④例3．（2023·全国·高三专题练习）下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率kPAn.其中所正确说法的序号是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④变式1．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选6只小白鼠，随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环境，另外3只分配到对照组且饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.则指定的两只小鼠分配到不同组的概率为（）A．310B．25C．12D．35变式2．（2023·青海西宁·高三统考开学考试）乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼．某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1白的概率是（）A．47B．37C．914D．12变式3．（2023·河北保定·统考二模）三位同学参加某项体育测试，每人要从100m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（）A．112B．13C．512D．712变式4．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，则2个小球在同一个盒子的概率为（）A．35B．12C．38D．13题型二：古典概型与向量的交汇问题例4．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知正九边形129AAA，从122391,,,AAAAAA中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（）A．12B．23C．49D．59例5．（2023·全国·高三专题练习）已知,{2,1,1,2}ab，若向量(,)mab，(1,1)nr，则向量m与n所成的角为锐角的概率是（）A．316B．14C．38D．716例6．（2023·甘肃武威·甘肃省武威第一中学校考模拟预测）连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(,)mn与向量(1,1)的夹角2的概率是（）A．12B．13C．712D．512变式5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量(,)mab与向量(2,1)n垂直的概率为（）A．19B．29C．13D．23变式6．（2023·云南楚雄·高三统考期末）从集合0,1,2,3中随机地取一个数a，从集合3,4,6中随机地取一个数b，则向量,mba与向量1,2n垂直的概率为（）A．112B．13C．14D．16变式7．（2023·湖北·高考真题）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量,amn与向量1,1b的夹角为，则0,2的概率是（）A．512B．12C．712D．56题型三：古典概型与几何的交汇问题例7．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示数，他们将1，3，6，10，15，…，12nn，称为三角形数；将1，4，9，16，25，…，2n，称为正方形数．现从200以内的正方形数中任取2个，则其中至少有1个也是三角形数的概率为（）A．2591B．2491C．2378D．1126例8．（2023·四川达州·统考二模）把腰底比为51:12（比值约为0.618，称为黄金比）的等腰三角形叫黄金三角形，长宽比为2:1（比值约为1.414，称为和美比）的矩形叫和美矩形.树叶、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黄金比.在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的2:1的比例关系，常用的A4纸的长宽比为和美比.图一是正五角星（由正五边形的五条对角线构成的图形），512ADAB.图二是长方体，2EF，22EGEH.在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为（）A．13B．16C．14D．18例9．（2023·江西·高三校联考阶段练习）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（）A．18B．14C．13D．12变式8．（2023·江西·校联考二模）圆周上有8个等分点，任意选这8个点中的4个点构成一个四边形，则四边形为梯形的概率是（）A．1035B．1235C．1435D．1635变式9．（2023·广东深圳·高三深圳市福田区福田中学校考阶段练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年.该书前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎包含现今平面几何的所有内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为（）A．37B．47C．57D．67变式10．（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（）A．1023B．1223C．2969D．5069变式11．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术·商功》指出“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”意为将一个正方体斜切，可以得到两个壍堵，将壍堵斜切，可得到一个阳马，一个鳖臑（四个面都是直角三角形的三棱锥），如果从正方体的8个顶点中选4个顶点得到三棱锥，则得到的三棱锥是鳖臑的概率为（）A．1829B．1629C．1229D．829题型四：古典概型与函数的交汇问题例10．（2023·四川遂宁·统考三模）已知3541lg2lg5,log3,,tan12m，从这四个数中任取一个数m，使函数2()21fxxmx有两不相等的实数根的概率为.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1）1fxx，（2）2sinfxx，（3）3tanfxx，（4）4exfx，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.例12．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在2，1，0，1，2的五个数字中，有放回地随机取两个数字分别作为函数232yaxbx中a，b的值，则该函数图像恰好经过第一、三、四象限的概率为．变式12．（2023·四川遂宁·统考一模）若函数()yfx的定义域和值域分别为1,2,3A和1,2B，则满足(1)(3)ff的函数概率是．变式13．（2023·全国·高三专题练习）一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：1()fxx，22()fxx，33()fxx，4()sinfxx，5()cosfxx，6()2||1fxx．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则3X的概率为．变式14．（2023·全国·高三专题练习）对于定义域为D的函数fx，若对任意的12,xxD，当12xx时都有12fxfx，则称函数fx为“不严格单调增函数”，若函数fx的定义域1,2,3,4,5D，值域为6,7,8A，则函数fx为“不严格单调增函数”的概率是．变式15．（2023·上海·高三专题练习）从3个函数：123,yxyx和yx中任取2个，其积函数在区间(,0)内单调递增的概率是.题型五：古典概型与数列的交汇问题例13．（2023·江西鹰潭·统考一模）斐波那契数列nF因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例