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公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§10.2排列与组合考试要求1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号Amn表示．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号Cmn表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．(2)Cmn＝AmnAmm＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C0n＝1性质(1)0！＝1；Ann＝n！.(2)Cmn＝Cn－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n常用结论1．排列数、组合数常用公式(1)Amn＝(n－m＋1)Am－1n.(2)Amn＝nAm－1n－1.(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.(4)kCkn＝nCk－1n－1.(5)Cmn＋Cmn－1＋…＋Cmm＋1＋Cmm＝Cm＋1n＋1.2．解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(3)若组合式Cxn＝Cmn，则x＝m成立．(×)(4)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(×)教材改编题1．A24＋C37等于()A．35B．47C．45D．57答案B解析A24＋C37＝4×3＋7×6×53×2×1＝47.2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是()A．18B．24C．30D．36答案C解析选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18(种)，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30(种)．3．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．答案36解析第一步，先从4名学生中任取两人组成一组，与剩下2人分成三组，有C24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A33＝6(种)不同的方法．故共有6×6＝36(种)不同的安排方案.题型一排列问题例1(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为()A．576B．288C．144D．48答案B解析根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项目，有A33＝6(种)情况，而4个项目之间的排法有A44＝24(种)顺序，则有2×6×24＝288(种)展示方案．(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4310的四位偶数．答案110解析①当千位上排1或3时，符合题意的共有A12A13A24个．②当千位上排2时，符合题意的共有A12A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A13个符合题意，形如41××的偶数有A12A13个符合题意，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数符合题意．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)符合题意．思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．跟踪训练1(1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有()A．18种B．36种C．72种D．108种答案B解析先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放A，B，共有A23种放法；再排剩余的3道程序，共有A33种放法．则共有A23·A33＝36(种)放法．(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．答案5760解析先排甲、乙，有A24种排法，再排丙，有A14种排法，其余5人有A55种排法，故不同的排法共有A24A14A55＝5760(种)．题型二组合问题例2(1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君有()A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法答案CD解析如果4人全部为男生，选法有C46＝15(种)，故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C26＝15(种)，女生的选法有C24＝6(种)，则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90(种)，B错误；如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C28＝28(种)，故C正确；在10人中任选4人，有C410＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有C48＝70(种)，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140(种)，故D正确．(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有()A．80种B．180种C．260种D．420种答案C解析根据题意，分2种情况讨论，①选出的3人中有1名国外记者、2名国内记者，则有C25C14A22＝80(种)选法，②选出的3人中有2名国外记者、1名国内记者，则有C15C24A33＝180(种)选法，由分类加法计数原理可知，共有80＋180＝260(种)选法．思维升华组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练2(1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为()A．12B．24C．34D．60答案C解析由题可知，选派4人去的总的选派种数为C47＝35，选派4人全部是男生的选派种数为1，所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为35－1＝34.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________．答案252解析构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法需10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是从上往右下角方向读，故共有不同读法C510＝252(种)．题型三排列与组合的综合问题命题点1相邻、相间问题例3(多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是()A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种排法C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种排法答案BCD解析对于A，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A44种排法，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A44种排法，故共有A44·A44＝576(种)排法，故A错误；对于B，先排女生，将4名女生全排列，有A44种排法，再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种排法，故共有A44·A35＝1440(种)排法，故B正确；对于C，任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有C37×2×1＝70(种)，故C正确；对于D，若甲站在排尾，则有A66种排法，若甲不站在排尾，则有A15A15A55种排法，故共有A66＋A15A15A55＝3720(种)排法，故D正确．命题点2定序问题例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案840解析7名学生的排列共有A77种，其中女生的排列共有A33种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有A77A33＝A47＝840(种)不同的排法．命题点3分组、分配问题例5(1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为()A．60B．90C．120D．150答案D解析满足条件的分法可分为两类，第一类，一人三张，另两人各一张，符合条件的分法有C35A33种，即60种，第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的分法有C25C23A22A33种，即90种，由分类加法计数原理可得，满足条件的不同分法种数为150.(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A．20种B．36种C．72种D．84种答案C解析将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为C26C24C22，其中甲、乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为C22·C24C22A22·A33，所以满足条件的不同的安排方案数为C26C24C22－C22·C24C22A22·A33＝90－18＝72.思维升华求解排列、组合应用问题的常用方法捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列跟踪训练3(1)(多选)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有()A．若A，B不相邻，共有72种排法B．若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法C．若A在B右边有60种排法D．若A，B两人站在一起有48种排法答案ACD解析对于A，若A，