2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第10章　§10.3　二项式定理

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示展开式的第k＋1项二项式系数Ckn(k＝0,1，…，n)2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项2Cnn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项12Cnn－与12Cnn＋相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.常用结论1．C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.2．Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Cknan－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(×)(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(√)(3)通项公式Tk＋1＝Cknan－kbk中的a和b不能互换．(√)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)教材改编题1.1x－x10的展开式中x2的系数等于()A．45B．20C．－30D．－90答案A解析因为展开式的通项为Tk＋1＝311010100221CC()(1)kkkkkkkxxx－－－＝－，令－10＋32k＝2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君得k＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×C810＝45.2．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝243，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn等于()A．31B．32C．15D．16答案A解析逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝25－1＝31.3．若x＋1xn的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案20解析因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝Ck6·x6－k·1xk＝Ck6x6－2k，当6－2k＝0，即k＝3时为常数项，T4＝C36＝20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1(1)二项式1x－x210的展开式中的常数项是()A．－45B．－10C．45D．65答案C解析由二项式定理得Tk＋1＝Ck101x10－k(－x2)k＝55210(1)Ckkkx－－，令5k2－5＝0得k＝2，所以常数项为(－1)2C210＝45.(2)已知x－ax5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.答案±1解析x－ax5的展开式的通项为Tk＋1＝Ck5x5－k·－axk＝(－a)kCk5352kx.由5－32k＝5，得k＝0，由5－32k＝2，得k＝2，所以A＝C05×(－a)0＝1，B＝C25×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.命题点2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题例2(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56B．84C．112D．168答案D解析在(1＋x)8的展开式中含x2的项为C28x2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为C24y2＝6y2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以x2y2的系数为28×6＝168.(2)在(2x＋a)x＋2x6的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为()A．3204B．－160C．160D．－320答案D解析x＋2x6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck6·x6－k·2xk＝Ck6·2k·x6－2k，2xTk＋1＝Ck6·2k＋1·x7－2k，由k∈N，得7－2k≠2，故不成立，aTk＋1＝aCk6·2k·x6－2k，令6－2k＝2，解得k＝2，则aC26·22＝60a＝－120，解得a＝－2，∵7－2k≠0，在－2Tk＋1中，令6－2k＝0，解得k＝3，∴展开式中的常数项为－2C36·23＝－320.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x＋y)8展开式的通项为Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝C68x2y6；令k＝5，得T5＋1＝C58x3y5，所以1－yx(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C68－C58＝－28.(2)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案1625解析由题意得，(2＋x)9的通项公式为Tk＋1＝Ck9(2)9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．当k＝0时，可得常数项为T1＝C09(2)9＝162.若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在3x－1xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A．二项式系数和为32B．各项系数和为128C．常数项为－135D．常数项为135公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案D解析令x＝1，得各项系数和为2n，又二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确；3x－1x6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck6·(3x)6－k·－1xk＝Ck6·(－1)k36－k·362kx，令6－32k＝0，得k＝4，因此展开式中的常数项为T5＝C46·(－1)4·32＝135，故C不正确，D正确．(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝Ck10xk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．故a2＋a6＋a8＝C210＋C610＋C810＝300.②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5120.命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(多选)(2023·唐山模拟)下列关于1x－2x6的展开式的说法中正确的是()A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为1答案ACD解析1x－2x6展开式的通项为Tk＋1＝Ck6·1x6－k·(－2x)k＝(－2)kCk6·x2k－6.对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常数项为(－2)3C36＝－8×20＝－160，A正确；对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0,2,4,6，∴T1＝x－6，T3＝4C26x－2＝60x－2，T5＝(－2)4C46x2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，∴展开式第5项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确．思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君跟踪训练2(1)(多选)对于x2－3x6的展开式，下列说法正确的是()A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为64C．常数项为1215D．系数最大的项为第3项答案ABC解析x2－3x6的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A正确；在x2－3x6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故B正确；展开式的通项为Tk＋1＝Ck6(x2)6－k·－3xk＝(－3)kCk6x12－3k(0≤k≤6，k∈N)，令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为(－3)4C46＝1215，故C正确；由C的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C26＝135，第5项系数为(－3)4C46＝1215，第7项系数为(－3)6C66＝729，则系数最大的项为第5项，故D不正确．(2)设()2＋x10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．答案1解析令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(2＋1)10，令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(2－1)10，故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(2＋1)10(2－1)10＝1.题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．12答案B解析因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512023＋a＝(52－1)2023＋a＝C02023522023－C12023522022＋C22023522021－…＋C2022202352－C20232023＋a，因为512023＋a能被13整除，所以－C20232023＋a＝－1＋a能被13整除，结合选项，所以a＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．1.33D．1.34答案D解析1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋Cn－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋Cn－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋Cn－1n·11＋Cnn－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·Cn－1n·13＋(－1)n·Cnn－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·Cn－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·Cn－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11