2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第10章　§10.5　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§10.5事件的相互独立性与条件概率、全概率公式考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．知识梳理1．相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝nABnA；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝i＝1nP(Ai)P(B|Ai)．常用结论1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)0，有P(Ai|B)＝PAiPB|AiPB＝PAiPB|Aik＝1nPAkPB|Ak，i＝1,2，…，n.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(×)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(√)(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第2枚正面朝上”为事件B，则A，B相互独立．(√)(4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．(√)教材改编题1．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解出的概率为()A.16B.13C.56D．1答案A解析设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，则P(A)＝12，P(B)＝23，故P(A)＝12，P(B)＝13，所以P(AB)＝12×13＝16，即谜题没被破解出的概率为16.2．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是()A.128B.110C.19D.27答案D解析当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为27.3．智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为________．答案0.55解析由题意得，居民甲第二天去A食堂用餐的概率P＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型一相互独立事件的概率例1(1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立答案B解析事件甲发生的概率P(甲)＝16，事件乙发生的概率P(乙)＝16，事件丙发生的概率P(丙)＝56×6＝536，事件丁发生的概率P(丁)＝66×6＝16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为________.答案0.50.1解析记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1,2,3…)，则P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.由乙先发球，得P(X＝4且甲获胜)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)＝0.4×0.5×0.4×0.5＋0.6×0.5×0.4×0.5＝0.1.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．跟踪训练1小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率．解用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)恰好有一列火车正点到达的概率为P2＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(3)三列火车至少有一列火车正点到达的概率为P3＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.题型二条件概率例2(1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具．到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1600种以上图案．现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为()A.35B.25C.27D.15答案D公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B为“两块板恰好是全等三角形”，则P(AB)＝2C27＝221，P(A)＝C25C27＝1021，所以P(B|A)＝PABPA＝2211021＝15.(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为()A.78B.56C.34D.2021答案A解析记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件B|A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，则B⊆A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，故P(B|A)＝PABPA＝PBPA＝0.840.96＝78.思维升华求条件概率的常用方法(1)定义法：P(B|A)＝PABPA.(2)样本点法：P(B|A)＝nABnA.(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．跟踪训练2(1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()A.14B.25C.12D.35答案C解析设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，所以P(A)＝35，P(AB)＝310，则P(B|A)＝PABPA＝31035＝12.(2)某射击运动员每次击中目标的概率为45，现连续射击两次．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君①已知第一次击中，则第二次击中的概率是________；②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是________．答案①45②12解析①设第一次击中为事件A，第二次击中为事件B，则P(A)＝45，由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，因此已知第一次击中，则第二次击中的概率是45.②设仅击中一次为事件C，则仅击中一次的概率为P(C)＝C12×45×15＝825，在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是P(B|C)＝15×45825＝12.题型三全概率公式的应用例3(1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为()A.79160B.35C.2132D.58答案C解析设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”．则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(B)P(A|B)＝58×0.9＋38×0.25＝2132.(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为()A．0.48B．0.49C．0.52D．0.51答案D解析设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，则P(A)＝P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.07，P(B|A)＝0.95，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君因此P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝0.5×(0.07＋0.95)＝0.51.思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)．(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)．(3)代入全概率公式计算．跟踪训练3(1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达