2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第10章　§10.6　离散型随机变量及其分布列、数字特征

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§10.6离散型随机变量及其分布列、数字特征考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．知识梳理1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．3．离散型随机变量分布列的性质(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(数学期望)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝i＝1nxipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝i＝1n(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称DX为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．5．均值(数学期望)与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君常用结论1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布．(×)(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(√)教材改编题1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示()A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次答案D解析因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．2．已知X的分布列为X－101P121316设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73B．4C．－1D．1答案A解析E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.3．若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22则X的方差D(X)＝________.答案14解析由a2＋a22＝1，得a＝1或a＝－2(舍去)．∴X的分布列为X01P1212∴E(X)＝0×12＋1×12＝12，则D(X)＝0－122×12＋1－122×12＝14.题型一分布列的性质例1(1)若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[1,2]C．(1,2]D．(1,2)答案C解析由随机变量X的分布列知，P(X1)＝0.5，P(X2)＝0.8，故当P(Xa)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．(2)(2022·桂林模拟)若随机变量X的分布列为X－101Pa13c公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则P(|X|＝1)等于()A.12B.13C.23D.16答案C解析由随机变量X的分布列得P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝1－13＝23.思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．跟踪训练1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P132－3qq2则q的值为()A．1B.32±336C.32－336D.32＋336答案C解析由分布列的性质知0≤2－3q≤1，0≤q2≤1，13＋2－3q＋q2＝1，解得q＝32－336.(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝k2i(i＝1,2,3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.答案8737解析由已知得随机变量X的分布列为X123Pk2k4k8公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴k2＋k4＋k8＝1，∴k＝87.∴随机变量X的分布列为X123P472717∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝27＋17＝37.题型二离散型随机变量的分布列及数字特征例2(1)(多选)已知随机变量X的分布列为X－101P13m3m下列结论正确的有()A．m＝16B．E(X)＝16C．E(2X－1)＝13D．D(X)＝2936答案ABD解析由分布列的性质得，13＋4m＝1，解得m＝16，故A正确；E(X)＝－1×13＋0×16＋1×12＝16，故B正确；E(2X－1)＝2E(X)－1＝－23，故C不正确；D(X)＝13×－1－162＋16×0－162＋12×1－162＝2936，故D正确．(2)(多选)(2023·郑州模拟)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区的志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则()A．E(X)＝E(Y)B．E(X)≠E(Y)C．D(X)＝D(Y)D．D(X)≠D(Y)答案BC解析由题意得，随机变量X的所有可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝C1333＝19，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君P(X＝2)＝C23A2333＝23，P(X＝3)＝A3333＝29，所以E(X)＝1×19＋2×23＋3×29＝199，D(X)＝1－1992×19＋2－1992×23＋3－1992×29＝2681.随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，则P(Y＝0)＝A3333＝29，P(Y＝1)＝C23A2333＝23，P(Y＝2)＝C1333＝19，所以E(Y)＝0×29＋1×23＋2×19＝89，D(Y)＝0－892×29＋1－892×23＋2－892×19＝2681，故E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)．思维升华求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．跟踪训练2(1)(2022·怀化模拟)已知ξ的分布列如表所示．ξ012P？！？其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)1；③P(ξ＝0)≤12，正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0,1]，2a＋b＝1.①E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；②D(ξ)＝(0－1)2×a＋(1－1)2×b＋(2－1)2×a＝2a≤1，因此②不正确；③P(ξ＝0)＝a＝1－b2≤12，因此③正确．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为14，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝________.答案1516解析由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2，P(ξ＝5)＝14×14＝116，P(ξ＝4)＝14×1－14＝316，P(ξ＝3)＝1－14×14＝316，P(ξ＝2)＝1－14×1－14＝916，则E(ξ)＝5×116＋4×316＋3×316＋2×916＝114，D(ξ)＝5－1142×116＋4－1142×316＋3－1142×316＋2－1142×916＝1516.题型三均值与方差中的决策问题例3(12分)(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；[切入点：X的取值情况](2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.[关键点：均值大小比较]公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．跟踪训练3某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．解(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，所以X的分布列为X0410P0.20.240.56(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,6,10，P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，则Y的均值E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，因为E(X)E(Y)，所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．课时精练1．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则X的均值E(X)等于()X012P0.2a0.5A.0.3B．0.8C．1.2D．1.3答案D解析依分布列的性质可得0.2＋a＋0.5＝1，解得a＝0.3，所以E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.5＝1.3.2．已知随机变量X的分布列为X123P121316且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a等于()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．－3B．－2C.53D．3答案A解析E(X)＝1×12＋2×13＋3×16＝53.∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝53