2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第10章　§10.7　二项分布、超几何分布与正态分布

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§10.7二项分布、超几何分布与正态分布考试要求1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．知识梳理1．二项分布(1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．3．正态分布(1)定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝2221·e2x－－，x∈R，其中μ∈R，σ0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君②曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.常用结论1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．2．超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝nMN，D(X)＝nMN1－MN1－n－1N－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．(√)(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(√)(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．(×)(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(×)教材改编题1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为23，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是()A.80243B.8081C.163243D.163729答案A解析用X表示发芽的粒数，则X～B5，23，则P(X＝3)＝C35×233×1－232＝80243，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为80243.2．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是()A．32B．16C．8D．20公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案B解析因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是12×0.6827×48≈16.3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝________.答案12解析由题意得，P(X＝1)＝C13C37C410＝12.题型一二项分布例1(1)(2023·海口模拟)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是()A．10分钟B．5分钟C．4分钟D．2分钟答案C解析每5分钟算作一轮，每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为550＝110，设他在直播屏幕上出现的轮次为X，根据题意得，X～B8，110，E(X)＝8×110＝0.8，设甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间为Y(单位：分钟)，则E(Y)＝E(5X)＝5×0.8＝4(分钟)．(2)(2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为23，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P0(0P01)，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．①大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若X≤30的概率为79.求P0的大小；②若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君累计得到的奖金的均值更大？解①由已知得，张某创业成功的概率为23，李某创业成功的概率为P0，且两人是否创业成功互不影响，记“这2人累计获得的奖金X≤30”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝50”，∵P(X＝50)＝23P0，∴P(A)＝1－P(X＝50)＝1－23P0＝79，解得P0＝13.②设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为X1，都选择创业项目乙且创业成功的次数为X2，则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为E(20X1)，选择项目乙累计获得的奖金的均值为E(30X2)，由已知可得，X1～B2，23，X2～B(2，P0)，∴E(X1)＝43，E(X2)＝2P0，∴E(20X1)＝20E(X1)＝20×43＝803，E(30X2)＝30E(X2)＝60P0，若E(20X1)E(30X2)，即80360P0，解得0P049；若E(20X1)E(30X2)，即80360P0，解得49P01；若E(20X1)＝E(30X2)，即803＝60P0，解得P0＝49.综上所述，当0P049时，他们都选择项目甲进行创业，累计得到的奖金的均值更大；当49P01时，他们都选择项目乙进行创业，累计得到的奖金的均值更大；当P0＝49时，他们选择两项目进行创业，累计得到的奖金的均值相等．思维升华二项分布问题的解题关键(1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同．②各次试验中的事件是相互独立的．③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君跟踪训练1(1)已知随机变量X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝23，则P(X≥2)等于()A.2027B.23C.1627D.1327答案A解析因为随机变量X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝23，则np＝2，np1－p＝23，解得n＝3，p＝23，所以P(X≥2)＝1－P(X＝1)－P(X＝0)＝1－C13×231×1－233－1－C03×230×1－233－0＝1－29－127＝2027.(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)．解①根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为25，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为35，所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为P＝1－C04×254－C14×35×253＝513625.②根据题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且X～B4，25，则P(X＝0)＝354＝81625，P(X＝1)＝C14×25×353＝216625，P(X＝2)＝C24×252×352＝216625，P(X＝3)＝C34×253×35＝96625，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君P(X＝4)＝254＝16625，所以X的分布列为X01234P816252166252166259662516625所以E(X)＝4×25＝85.题型二超几何分布例22022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十四号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；(2)从得分在[60,90]的学生中利用比例分配的分层随机抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及均值．解(1)每名学生得分低于70分的概率为1－(0.04＋0.02)×10＝0.4，不低于80分的概率为0.02×10＝0.2.故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为C12×0.4×0.2＝425.(2)由频率分布直方图可得，8人中分数在[60,70)的有2人，[70,90]的有6人，所以X～H(3,6,8)，X的所有可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝C16C22C38＝328，P(X＝2)＝C12C26C38＝1528，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君P(X＝3)＝C36C38＝514.故X的分布列为X123P3281528514故E(X)＝3×68＝94.思维升华(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．跟踪训练2为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯：年用电量在2161度到4200度内(含4200度)，超出2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出4200度的电量执行第三档电价0.8653元/度．某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：用户编号12345678910年用电量/度1000126014001824218024232815332544114600(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．解(1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，第三档电价比