2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第10章　§10.9　概率、统计与其他知识的交汇问题[培优课

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§10.9概率、统计与其他知识的交汇问题有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容．近几年将概率、统计问题与数列、函数、导数结合，成为创新问题．题型一概率、统计与数列的综合问题例1“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”．某公司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工，该系列纪念币有A1，A2，A3，A4四种．每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼．锻炼结束后员工将随机等可能地获得一枚纪念币．(1)某员工活动前两天获得A1，A4，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？(2)通过抽样调查发现，活动首日有34的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”；在前一天选择“球类”的员工中，次日会有13的员工继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的员工中，次日会有12的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”．用频率估计概率，记某员工第n天选择“球类”的概率为Pn.①计算P1，P2，并求Pn；②该公司共有员工1400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动？解(1)设事件E为“该员工前四天恰好能集齐这4枚纪念币”，由题意知，样本点总数N＝4×4＝16，事件E包含的样本点的个数n＝2×1＝2，所以该员工前四天恰好能集齐这四枚纪念币的概率P(E)＝216＝18.(2)①由题意知，P1＝34，P2＝13P1＋12(1－P1)＝12－16P1＝12－16×34＝38，当n≥2时，Pn＝13Pn－1＋12(1－Pn－1)＝12－16Pn－1，所以Pn－37＝－16Pn－1－37，又因为P1－37＝34－37＝928，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以Pn－37是以928为首项，以－16为公比的等比数列，所以Pn－37＝928×－16n－1，即Pn＝37＋928×－16n－1.②由①知，当n足够大时，选择“球类”的概率近似于37，假设用ξ表示一天中选择“球类”的人数，则ξ～B1400，37，所以E(ξ)＝1400×37＝600，即选择“球类”的人数的均值为600，所以选择“田径”的人数的均值为800.即经过足够多天后，估计该公司接下来每天有600名员工参加球类运动，800名员工参加田径运动．思维升华高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、统计为命题情景，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的事件类型．跟踪训练1(2022·太原模拟)足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．(1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时，有13的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和均值；(2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，甲等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为Pn.求证：数列Pn－14为等比数列，并求Pn.解(1)每个点球能被守门员扑出球门外的概率P＝3×13×13×13＝19，由题意可知，X～B3，19，P(X＝0)＝C03×893＝512729，P(X＝1)＝C13×191×892＝192729＝64243，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君P(X＝2)＝C23×192×891＝24729＝8243，P(X＝3)＝C33×193＝1729，则X的分布列为X0123P5127296424382431729E(X)＝3×19＝13.(2)由已知得，第(n－1)次传球后球又回到甲脚下的概率为Pn－1，∴当n≥2时，Pn＝(1－Pn－1)·13，∴Pn－14＝－13Pn－1－14，∴Pn－14是首项为P1－14＝－14，公比为－13的等比数列，∴Pn－14＝－14×－13n－1，∴Pn＝14－14×－13n－1.题型二概率、统计与导数的综合问题例2(2023·岳阳模拟)中国国家统计局2021年9月30日发布数据显示，2021年9月中国制造业采购经理指数(PMI)为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，进一步体现了中国制造业当前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如图所示：公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(1)取样本数据的方差s2的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数x＝0.010×10×46＋562＋0.020×10×56＋662＋0.045×10×66＋762＋0.020×10×76＋862＋0.005×10×86＋962＝70，∴μ≈x＝70，又样本方差s2≈100，∴σ≈s2＝10，∴X～N(70，102)，则优等品质量差在(μ－σ，μ＋σ)，即(60,80)内，一等品质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)，即(80,90)内，∴正品质量差在(60,80)和(80,90)，即(60,90)内，∴该企业生产的产品为正品的概率P＝P(60X90)＝P(60X70)＋P(70X90)≈12×(0.6827＋0.9545)＝0.8186.(2)①从(n＋2)件正品中任选2件，有C2n＋2种选法，其中等级相同的有C2n＋C22种选法，∴某箱产品抽检被记为B的概率p＝1－C2n＋C22C2n＋2＝1－n2－n＋2n2＋3n＋2＝4nn2＋3n＋2.②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p(0p1)，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)＝C35p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)，∴f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，∴当p∈0，35时，f′(p)0，函数f(p)单调递增；当p∈35，1时，f′(p)0，函数f(p)单调递减，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴当p＝35时，f(p)取得最大值f35＝C35×353×1－352＝216625，此时，p＝4nn2＋3n＋2＝35，解得n＝3或n＝23(舍)．∴当n＝3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为216625.思维升华在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现．跟踪训练2(2023·江门模拟)学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参加“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，13.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响．(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f(p)．求当p为何值时，f(p)取得最大值．解(1)X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10，P(X＝5)＝125＝132，P(X＝6)＝C15×121×124＝532，P(X＝7)＝C25×122×123＝1032＝516，P(X＝8)＝C35×123×122＝1032＝516，P(X＝9)＝C45×124×121＝532，P(X＝10)＝C55×125＝132.所以X的分布列为X5678910P132532516516532132公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则E(X)＝5×132＋6×532＋7×516＋8×516＋9×532＋10×132＝24032＝152.(2)由题意知“每天得分不低于3分”的概率为p＋(1－p)×13＝13＋23p(0p1)，所以5天中恰有3天每天得分不低于3分的概率f(p)＝C3513＋23p31－13－23p2＝40243(1＋2p)3(1－p)2，f′(p)＝40243[6(1＋2p)2(1－p)2－2(1＋2p)3(1－p)]＝40243(1＋2p)2(1－p)(4－10p)，所以当p∈0，25时，f′(p)0，f(p)在0，25上单调递增；当p∈25，1时，f′(p)0，f(p)在25，1上单调递减，所以当p＝25时，f(p)取得最大值．课时精练1．(2023·齐齐哈尔模拟)为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，根据积分选出最后的冠军．积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．(1)若每名队员获得冠、亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率是多少？(2)已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为p(0p1)．①记小李以3∶1取胜的概率为f(p)．若当p＝p0时，f(p)取最大值，求p0的值；②若以①中p0的值作为p的值，这轮比赛小李所得积分为X，求X的分布列及均值．解(1)比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率P＝C13C14＋C14C15＋C13C15C212＝4766.(2)①由题可知f(p)＝C23p2(1－p)·p＝3p3(1－p)，f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)，令f′(p)＝0，得p＝34或p＝0(舍去)，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君当p∈0，34时，f′(p)0，f(p)在0