2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.1　集　合

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§1.1集合考试要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君3．集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(√)教材改编题1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于()A．{－1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{－1,4}答案B解析由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.2．下列集合与集合A＝{2022,1}相等的是()A．(1,2022)B．{(x，y)|x＝2022，y＝1}C．{x|x2－2023x＋2022＝0}D．{(2022,1)}答案C解析(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；集合{(x，y)|x＝2022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君{x|x2－2023x＋2022＝0}＝{2022,1}＝A，故C符合题意；集合{(2022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意．3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________.答案{x|x≥－1}{x|x2或x≥3}解析因为A＝{x|－1≤x3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x3}，∁U(A∩B)＝{x|x2或x≥3}.题型一集合的含义与表示例1(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，故集合A∩B有两个元素．(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为()A．1B．1或0C．0D．－1或0答案C解析∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1(1)(多选)若集合M＝{x|x－20，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．0∉MB．{0}∈MC．{1}⊆MD．1⊆M答案ABD解析对于A，因为M＝{x|x－20，x∈N}，所以0∈M，所以A错误；对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B错误；对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C正确；对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误．(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．5答案C解析因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，即集合B中含有4个元素．题型二集合间的基本关系例2(1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是()A．A＝BB．A∩B＝∅C．ABD．B⊆A答案C解析由题设，可得A＝{x|x2}，又B＝{x|x≥－3}，所以A是B的真子集，故A，B，D错误，C正确．(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________．答案15(－∞，－2)∪[－1,0]解析A＝{x|－2≤x≤1}，若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，故集合A的真子集有24－1＝15(个)．由B⊆A，得①若B＝∅，则2m＋1m－1，即m－2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君②若B≠∅，则2m＋1≥m－1，2m＋1≤1，m－1≥－2，解得－1≤m≤0，综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1,0]．思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是()A．{－1,1}B．{－1,1,2,4}C．{1}D．{1，－2,2}答案AC解析由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M且2∉M，所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}．(2)函数f(x)＝x2－2x－3的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－3]∪[5，＋∞)解析由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1，即A＝{x|x≥3或x≤－1}．∵B⊆A，显然B≠∅，∴4－a≤－1或－a≥3，解得a≥5或a≤－3，故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞)．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于()A．∅B．SC．TD．Z答案C公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析方法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.方法二S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T.(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x4}，B＝{x|y＝x＋2}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≤－2}B．{x|x－2}C．{x|x≥4}D．{x|x≤4}答案C解析观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B.∵A＝{x|－2≤x4}，U＝R，∴∁UA＝{x|x－2或x≥4}，又B＝{x|y＝x＋2}⇒B＝{x|x≥－2}，∴(∁UA)∩B＝{x|x≥4}．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，1]答案B解析由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1x1}，∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}，所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1.思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3(1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3}B．{0,3}C．{－2,1}D．{－2,0}答案D解析由题意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．故选D.(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)0}，B＝{x|xa}，若A∪B＝{x|x1}，则a的取值范围是()A．[1,4)B．(1,4)C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)答案A解析由题意可得A＝{x|1x4}．因为A∪B＝{x|x1}，所以1≤a4.题型四集合的新定义问题例5(1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，ab∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是()A．0是任何数域的元素B．若数域F有非零元素，则2023∈FC．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域D．有理数集为数域答案ABD解析对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确；对于B，若a∈F且a≠0，则1＝aa∈F，2＝1＋1∈F，3＝1＋2∈F，依此类推，可得2023∈F，故B正确；对于C，P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但36∉P，故P不是数域，故C错误；对于D，若a，b是两个有理数，则a＋b，a－b，ab，ab(b≠0)都是有理数，所以有理数集是数域，故D正确．(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.①若n＝3，则这样的集合A共有________个；②若n为偶数，则这样的集合A共有________个．答案213解析①若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个；②因为集合M的子集共有24＝16(个)，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3个，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以“累积值”为偶数的集合共有13个．思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________．答案{2,4}解析根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：∅，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}．故排在第6位的子集为{2,4}．课时精练1．(2022