2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.4　基本不等式

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§1.4基本不等式考试要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．知识梳理1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤a＋b22与ab≤a＋b2等号成立的条件是相同的．(×)(2)y＝x＋1x的最小值是2.(×)(3)若x0，y0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(√)(4)函数y＝sinx＋4sinx，x∈0，π2的最小值为4.(×)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君教材改编题1．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为()A．16B．8C．4D．2答案A解析因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，所以ab＝a＋4b≥24ab＝4ab，所以ab≥16，当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立．2．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________．答案1解析因为x≥0，所以x＋10，1x＋10，利用基本不等式得y＝x＋1x＋1＝x＋1＋1x＋1－1≥2x＋1·1x＋1－1＝1，当且仅当x＋1＝1x＋1，即x＝0时，等号成立．所以函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为1.3．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案25解析设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，其中0x10，∴y＝x(10－x)≤x＋10－x22＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，∴ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25m2.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)已知x2，则函数y＝x＋12x－2的最小值是()A．22B．22＋2公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．2D.2＋2答案D解析由题意可知，x－20，∴y＝(x－2)＋12x－2＋2≥2x－2·12x－2＋2＝2＋2，当且仅当x＝2＋22时，等号成立，∴函数y＝x＋12x－2(x2)的最小值为2＋2.(2)设0x32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．答案92解析∵0x32，∴3－2x0，y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋3－2x22＝92，当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时，等号成立．∵34∈0，32，∴函数y＝4x(3－2x)0x32的最大值为92.命题点2常数代换法例2已知x0，y0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为()A．16B．8＋42C．12D．6＋42答案A解析由题意可知2x＋4y＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)2x＋4y＝8xy＋2yx＋8≥28xy·2yx＋8＝16，当且仅当8xy＝2yx，即x＝4，y＝8时，等号成立，则2x＋y的最小值为16.命题点3消元法例3(2023·烟台模拟)已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．答案6解析方法一(换元消元法)由已知得9－(x＋3y)＝xy＝13·x·3y≤13·x＋3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9－3y＋3y1＋y1＋y＝9＋3y21＋y＝31＋y2－61＋y＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥231＋y·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值．解9－xy＝x＋3y≥23xy，∴9－xy≥23xy，令xy＝t，∴t0，∴9－t2≥23t，即t2＋23t－9≤0，解得0t≤3，∴xy≤3，∴xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1(1)(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是()A．ab有最小值14B．8a＋8b有最大值82公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C.1a＋1b有最小值4D．a2＋b2有最小值22答案AD解析由1＝a＋b≥2ab当且仅当a＝b＝12时等号成立，得ab≤14，故ab有最大值14，故A错误；(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋214＝2当且仅当a＝b＝12时等号成立，则a＋b≤2，则8a＋8b有最大值82，故B正确；1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4当且仅当a＝b＝12时等号成立，故1a＋1b有最小值4，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥12当且仅当a＝b＝12时等号成立，所以a2＋b2有最小值12，故D错误．(2)已知x1，则y＝x－1x2＋3的最大值为________．答案16解析令t＝x－1，∴x＝t＋1，∵x1，∴t0，∴y＝tt＋12＋3＝tt2＋2t＋4＝1t＋4t＋2≤124＋2＝16，当且仅当t＝4t，t＝2，即x＝3时，等号成立，∴当x＝3时，ymax＝16.题型二基本不等式的常见变形应用例4(1)若0ab，则下列不等式一定成立的是()A．ba＋b2aabB．baba＋b2aC．ba＋b2aba公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君D．baa＋b2ab答案C解析∵0ab，∴2ba＋b，∴ba＋b2ab.∵ba0，∴aba2，∴aba.故ba＋b2aba.(2)(2023·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A.a＋b2≥ab(a0，b0)B．a2＋b2≥2ab(a0，b0)C.2aba＋b≤ab(a0，b0)D.a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)答案D解析由图形可知，OF＝12AB＝12(a＋b)，OC＝12(a＋b)－b＝12(a－b)，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝a＋b22＋a－b22＝12a2＋b2，∵CF≥OF，∴12a2＋b2≥12(a＋b)(a0，b0)．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)．跟踪训练2(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.2a＋bB.1a＋1bC.2abD.2a2＋b2答案B解析∵a，b为互不相等的正实数，∴1a＋1b2ab，2a＋b22ab＝1ab2ab，2a2＋b222ab＝1ab2ab，∴最大的是1a＋1b.题型三基本不等式的实际应用例5中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？解(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，供货单价为50＋105＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)．(2)设售价为x元，则销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为50＋1015－0.1x元，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君单套利润为x－50－1015－0.1x＝x－50－100150－x元，因为15－0.1x0，所以0x150.所以单套利润为y＝x－50－100150－x＝－150－x＋100150－x＋100≤100－2150－x·100150－x＝80，当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练3某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm.当直角梯形的高为__________cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)．答案125解析设直角梯形的高为xcm，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm，∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝1440x＋8，故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)1440x＋8＝8x＋5760x＋1472≥28x·5760x＋1472＝1925＋1472，当且仅当8x＝5760x，即x＝125时，等号成立．∴当直角梯形的高为125cm时，用纸量最少．课时精练1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋2x公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君B．y＝x2＋3x2＋2C．y＝ex＋e－xD．y＝sinx＋1sinx0xπ2答案C解析当x0时，y＝x＋2x0，故A错误；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，又x2≠－1，故B错误；y＝ex＋e－x≥2ex·e－x＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈0，π2时，sinx∈(0,1)，y＝sinx＋1sinx≥2，当且仅当sinx＝1sinx，即sinx＝1时取等号，因为sinx∈(0,1)，故D错误．2．已知a0，b0，a＋b＝2，则lga＋lgb的最大值为()A．0B.13C.12D．1答案A解析∵a0，b0