2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君必刷小题1集合、常用逻辑用语、不等式一、单项选择题1．(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－30}，那么集合A∩B等于()A．{－1,0,1,2}B．{0,1,2,3}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}答案C解析因为B＝{x|2x2－5x－30}＝{x|(2x＋1)(x－3)0}＝x－12x3，故A∩B＝{0,1,2}．2．设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为()A．16B．32C．15D．31答案B解析因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{1,2,3,4,5}，所以集合A的子集个数为25＝32.3．(2022·百师联盟联考)命题“∀x0，cosx－12x2＋1”的否定是()A．∀x0，cosx≤－12x2＋1B．∀x≤0，cosx－12x2＋1C．∃x0，cosx≤－12x2＋1D．∃x≤0，cosx≤－12x2＋1答案C4．(2023·长沙模拟)已知p：1x1；q：xm，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，1]答案C解析由1x1，可得x(x－1)0，解得0x1，记A＝{x|0x1}，B＝{x|xm}，若p是q的充分条件，则A是B的子集，所以m≤0，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以实数m的取值范围是(－∞，0]．5．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋10的解集为x－1x13，则ab的值为()A．3B．2C．1D．6答案D解析因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋10的解集为x－1x13，则a0，－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的根．由根与系数的关系，得－ba＝－1＋13，1a＝－1×13，解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6.6．(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足xy，z0，则下列不等式恒成立的是()A.zx－zy0B.zx－zy0C．x2z－y2z0D．xzyz答案D解析令x＝2，y＝1，z＝1，则zx－zy＝－12，即zx－zy0，所以A选项错误；令x＝1，y＝－1，z＝1，则zx－zy＝2，即zx－zy0，所以B选项错误；令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－30，所以C选项错误；因为xz－yz＝(x－y)z，由xy，z0得xz－yz0，即xzyz，所以D选项正确．7．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1∉S，x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()A．5个B．6个C．9个D．12个答案B解析若由S的3个元素构成的集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．8．当a0且a≠1时，若∀x∈R，a2x＋a－2x＋t(ax＋a－x)0成立，则t的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)答案C解析令m＝ax＋a－x，则当a0且a≠1时，m＝ax＋a－x≥2ax·a－x＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，且m2＝(ax＋a－x)2＝a2x＋a－2x＋2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则a2x＋a－2x＝m2－2，原不等式可化为m2＋tm－20对任意m∈[2，＋∞)恒成立．所以t2m－m恒成立，又y＝2m－m在[2，＋∞)上单调递减，所以t22－2＝－1.二、多项选择题9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x0}，B＝{x|2x1}，则()A．A∩(∁UB)＝∅B．A∪B＝AC．A⊆BD．B⊆A答案AC解析∵A＝{x|x2－2x0}＝(0,2)，B＝{x|2x1}＝(0，＋∞)，∴A∩(∁UB)＝∅，A∪B＝B，A⊆B，故AC正确，BD错误．10．以下命题中是真命题的是()A．∃x∈R，使exx＋1成立B．∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数C．“a，b∈R，ab”是“a|a|b|b|”的充要条件D．“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件答案CD解析设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x＝0时，函数f′(x)＝0，当x0时，f′(x)0，当x0时，f′(x)0，故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0，即∀x∈R，ex≥x＋1，故A错误；当x＝π2时f(x)＝sin2x＋π2＝cos2x，故函数f(x)为偶函数，故B错误；当ab0时，等价于a2－b2＝(a＋b)(a－b)0，当0ab时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)0，当a0b时，等价于a2＋b20，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君反之同样成立，故C正确；“x∈A∩B”⇒“x∈A”，“x∈A”⇏“x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故D正确．11．(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a0，b0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是()A．ab≥12B．ab≤12C.1a2＋1b2≥4D.a＋b22≤12答案BCD解析因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，即1a2＋b2＝1，即a2＋b2＝1，且a0，b0，因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，所以ab≤a2＋b22＝12，即A错误，B正确；因为a2＋b2＝1，所以1a2＋1b2＝a2＋b2a2＋a2＋b2b2＝2＋b2a2＋a2b2≥2＋2b2a2·a2b2＝4当且仅当b2a2＝a2b2，即a＝b时取等号，即C正确；因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，所以a＋b22＝a2＋b2＋2ab4≤2a2＋b24＝12(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确．12．已知3a＝2,5b＝3，则下列结论正确的是()A．abB．a＋1ab＋1bC．a＋b2abD．a＋abb＋ba答案AD解析因为3a＝2,5b＝3，则a＝log32，b＝log53.对于A，∵2332，则2233，从而0＝log31a＝log32233log3＝23，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君因为3352，则3235，则23＝235log5b＝log53log55＝1，即0a23b1，A正确；对于B，a＋1a－b＋1b＝(a－b)＋1a－1b＝a－bab－1ab，因为0a23b1，则a－b0,0ab1，所以，a＋1ab＋1b，B错误；对于C，因为2ab＝2log32·log53＝2log52＝log54，所以，a＋b－2ab＝log32＋log53－log54＝log32－log543log33－log55＝0，所以，a＋b2ab，C错误；对于D，构造函数f(x)＝lnxx，其中0xe，则f′(x)＝1－lnxx2.当0xe时，f′(x)0，则函数f(x)在(0，e)上单调递增，因为0ab1，则f(a)f(b)，即lnaalnbb，可得abba，所以，a＋abb＋ba，D正确．三、填空题13．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A⊆B，则实数a的取值范围为________．答案[2，＋∞)解析∵A＝{x|－2≤x≤2}≠∅，A⊆B，∴A与B的关系如图，∴a≥2.14．设p：实数x满足(x－3a)(x－a)0，q：实数x满足x＋3x＋2≤0.当a0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．答案[－2，－1)解析由x＋3x＋2≤0，得x＋3x＋2≤0，x＋2≠0，解得－3≤x－2，即q：B＝{x|－3≤x－2}，因为a0，由(x－3a)(x－a)0，得3axa，即p：A＝{x|3axa}，若p是q的必要条件，则q⇒p，所以B⊆A，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以3a－3，a≥－2，即－2≤a－1.15．下列命题中，真命题的序号是________．①∃x∈R，sinx＋cosx＝3；②若p：xx－10，则綈p：xx－1≥0；③lgxlgy是xy的充要条件；④△ABC中，边ab是sinAsinB的充要条件；⑤“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件．答案④解析对①，∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2，32，故①为假命题；对②，命题p：xx－10，解得0x1，所以綈p：{x|x≤0或x≥1}，而xx－1≥0的解集为{x|x≤0或x1}，故②为假命题；对③，当x＝1，y＝0时，满足xy，但lgxlgy不成立，故③为假命题；对④，根据正弦定理asinA＝bsinB可得，边ab是sinAsinB的充要条件，故为真命题；对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题．16．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________．答案[－1,0)∪(8,9]解析不等式x2－kx＋2k0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k0，解得k0或k8，设x2－kx＋2k＝0的两根分别为x1，x2，不妨令x1x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k，由题意得x2－x1＝x2＋x12－4x1x2＝k2－8k≤3，解得－1≤k≤9，结合k0或k8，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]．