2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.10　函数的图象

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§2.10函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．知识梳理1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)―――――→关于x轴对称y＝－f(x)．②y＝f(x)―――――→关于y轴对称y＝f(－x)．③y＝f(x)―――――→关于原点对称y＝－f(－x)．④y＝ax(a0，且a≠1)―――――→关于y＝x对称y＝logax(a0，且a≠1)．(3)翻折变换①y＝f(x)―――――――――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|.②y＝f(x)――――――――――→保留y轴右侧图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)．常用结论1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．2.函数图象自身的对称关系(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(×)(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(×)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(×)教材改编题1．函数y＝1－1x－1的图象是()答案B解析将函数y＝－1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y＝1－1x－1的图象，故选B.2．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝lnx的图象向左平移1个单位长度得到的，函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君3．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.答案e－x＋1解析∵f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.题型一作函数图象例1作出下列各函数的图象：(1)y＝|log2(x＋1)|；(2)y＝2x－1x－1；(3)y＝x2－2|x|－1.解(1)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示．(2)原函数解析式可化为y＝2＋1x－1，故函数图象可由函数y＝1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示．(3)因为y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示．思维升华函数图象的常见画法及注意事项(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(4)画函数的图象一定要注意定义域．跟踪训练1作出下列各函数的图象：(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝12|x|；(3)y＝|log2x－1|.解(1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝1，x≥1，2x－1，x1，可见其图象是由两条射线组成，如图①所示．(2)作出y＝12x的图象，保留y＝12x的图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图②实线部分所示．(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．题型二函数图象的识别例2(1)(2023·许昌质检)函数f(x)＝y＝22x＋1ln|x|2x的图象大致为()答案B解析由解析式知，定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝2－2x＋12－x·ln|－x|＝1＋22x2x·ln|x|＝f(x)，故y＝22x＋1ln|x|2x为偶函数，排除D；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又f(1)＝0，f12＝－3ln220，排除A，C.(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是()A．y＝－x3＋3xx2＋1B．y＝x3－xx2＋1C．y＝2xcosxx2＋1D．y＝2sinxx2＋1答案A解析对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝15sin3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜π2时，0＜cosx＜1，故y＝2xcosxx2＋1＜2xx2＋1≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.思维升华识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．跟踪训练2(1)(2022·吕梁模拟)函数f(x)＝2xsinx4x＋1的大致图象为()答案A解析因为f(x)＝sinx2x＋2－x，所以f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－sinx2－x＋2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君因为π41π3，所以0f(1)＝sin12＋12＝25sin125，排除B，D选项．(2)(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝ex－1－1，x≤1，log2x，x1，则函数y＝f(1－x)的图象大致为()答案B解析函数f(x)＝ex－1－1，x≤1，log2x，x1，所以y＝g(x)＝f(1－x)＝e－x－1，x≥0，log21－x，x0，所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，故选项A，C错误；当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，故选项D错误，选项B正确．题型三函数图象的应用命题点1利用图象研究函数的性质例3(多选)已知函数f(x)＝2xx－1，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称答案AB解析因为f(x)＝2xx－1＝2x－1＋2x－1＝2x－1＋2，所以该函数图象可以由y＝2x的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称，在(－∞，1)上单调递减，A，B正确，D错误；易知函数f(x)的图象是由y＝2x的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君命题点2利用图象解不等式例4(2023·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)2f(x)的解集为()A．(－2，0)∪(2，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－2，0)∪(2，2)D．(－2，－2)∪(0，2)∪(2，＋∞)答案C解析根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，由x2f(x)2f(x)，得(x2－2)f(x)0，则x2－20，fx0或x2－20，fx0，解得x－2或2x2或－2x0，故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－2，0)∪(2，2)．命题点3利用图象求参数的取值范围例5已知函数f(x)＝|2x－1|，x≤2，－x＋5，x2，若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．[0,1)C．(1,3)∪{0}D．[1,3)∪{0}答案D解析因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，作出函数图象，如图所示，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以当m∈[1,3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}．思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．跟踪训练3(1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象，则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2.(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．答案12，1解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为12，1.课时精练1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案A解析将函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到y＝2x－3的图象，再向下平移1个单位长度得到y＝2x－3－1的图象．2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cosx在区间－π2，π2上的图象大致为()答案A解析方法一(特值法)取x＝1，则y＝3－13cos1＝83cos10；取x＝－1，则y＝13－3cos(－1)＝－83cos10.结合选项知选A.方法二令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cosx是奇函数，排除B，D；取x＝1，则y＝3－13cos1＝83cos10，排除C，故选A.3．(2023·黑龙江模拟)已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．f(x)＝ln|x－1|xB．f(x)＝xln|x－1|C．f(x)＝x－2|x|－1D．f(x)