2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.11　函数的零点与方程的解

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§2.11函数的零点与方程的解考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．2．函数y＝3x－lnx的零点所在区间是()A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)答案B解析因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝3x在(0，＋∞)上单调递减；y＝－lnx在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝3x－lnx为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，又当x＝2时，y＝32－ln20；当x＝3时，y＝1－ln30，两函数值异号，所以函数y＝3x－lnx的零点所在区间是(2,3)．3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析由f′(x)＝ex＋30，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－30，f(0)＝10，因此函数f(x)有且只有一个零点．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)答案B解析由题意得，f(x)＝lnx＋2x－6，在定义域内单调递增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－20，f(3)＝ln3＋6－6＝ln30，则f(2)f(3)0，∴零点在区间(2,3)上．延伸探究用二分法求函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A．2B．3C．4D．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为12n，故有12n≤0.1，解得n≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋12x＝0，x2＋log2x2＝0,33x-－log2x3＝0，则()A．x1x2x3B．x2x1x3C．x1x3x2D．x2x3x1答案A解析设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，f(－1)＝－12，f(0)＝1，即f(－1)f(0)0，由函数零点存在定理可知，－1x10.设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g12＝－12，g(1)＝1，即g12g(1)0，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君由函数零点存在定理可知，12x21，设函数h(x)＝13x－log2x，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝13，h(x3)＝0，因为h(1)h(x3)，由函数单调性可知，x31，即－1x10x21x3.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案AD解析f(－2)＝1e20，f(－1)＝1e－10，f(0)＝－10，f(1)＝e－30，f(2)＝e2－40，因为f(－2)·f(－1)0，f(1)·f(2)0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若abc，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于abc，则a－b0，a－c0，b－c0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0.所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－12log|x|的零点个数是()A．5B．4C．3D．2答案D解析在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝12log|x|的图象如图所示，则y＝f(x)－12log|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2023]上根的个数为()A．404B．405C．406D．203答案C解析因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2023]内包含202个周期，故f(x)在[0,2020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2020,2023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个．故f(x)在[0,2023]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0,2023]上有406个根．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝|lgx|，x0，－x2－2x，x≤0，则关于x的公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为()A．3B．7C．5D．6答案B解析根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或f(x)＝12.作出f(x)的简图如图所示，由图象可得当f(x)＝1和f(x)＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为7.(2)函数f(x)＝36－x2·cosx的零点个数为______．答案6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6,6]．令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝π2＋kπ，k∈Z，又x∈[－6,6]，∴x的取值为－3π2，－π2，π2，3π2.故f(x)共有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f(x)＝4－x2，x≤2，log3x－1，x2，g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为()A．(22－6,0)B．(23－6,0)C．(－2,0)D．(25－6,0)答案D公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析作出函数f(x)＝4－x2，x≤2，log3x－1，x2的图象，如图所示，设与y＝4－x2相切的直线为l，且切点为P(x0,4－x20)，因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0，则切线方程为y－4＋x20＝－2x0(x－x0)，因为g(x)＝kx－3k过定点(3,0)，且在切线l上，代入切线方程求得x0＝3－5或x0＝3＋5(舍去)，所以切线的斜率为k＝25－6，因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，由图象知，实数k的取值范围为(25－6,0)．命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－1＋axx.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是()A.－∞，43B.0，43C．(－∞，0)D.43，＋∞答案B解析由f(x)＝3x－1＋axx＝0，可得a＝3x－1x，令g(x)＝3x－1x，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－1x在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－1xg(－1)＝3－1＋1＝43，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又g(x)＝3x－1x0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为0，43.因此实数a的取值范围是0，43.思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．0a3B．1a3C．1a2D．a≥2答案A解析因为函数y＝2x，y＝－2x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－2x－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内得，f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)0，解得0a3.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝lnxx，x0，x2＋2x，x≤0，若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为()A．(－1,0)B.－1，1eC.0，1eD.0，1e∪{－1}答案B解析设h(x)＝lnxx(x0