2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.6　二次函数与幂函数

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§2.6二次函数与幂函数考试要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a0)y＝ax2＋bx＋c(a0)图象(抛物线)定义域R公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在－∞，－b2a上单调递减；在－b2a，＋∞上单调递增在－∞，－b2a上单调递增；在－b2a，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝1212x是幂函数．(×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a0且Δ0.(√)(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(×)教材改编题1．已知幂函数f(x)的图象经过点5，15，则f(8)的值等于()A.14B．4C．8D.18答案D解析设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点5，15，所以f(5)＝5α＝15，解得α＝－1，所以f(x)＝x－1，则f(8)＝8－1＝18.2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为()A．(－∞，－2]B．(－∞，2]C．[－2，＋∞)D．[2，＋∞)答案A解析f(x)＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，故函数f(x)的对称轴为x＝－2，又函数f(x)的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]．3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为()A．[－6,2]B．[－6,1]C．[0,2]D．[0,1]公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6,2].题型一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则()A．－1n0m1B．n－1，0m1C．－1n0，m1D．n－1，m1答案B解析由图象知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，所以m0，又y＝xm的图象增长得越来越慢，所以m1，y＝xn在(0，＋∞)上单调递减，所以n0，又当x1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，所以n－1.综上，n－1，0m1.(2)(2023·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)225mmx＋－在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于()A．27B．9C.19D.127答案A解析由题意，得m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝－3时，可得f(x)＝x－2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α0,0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1(1)已知幂函数3pyx＝(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则()A．p为奇数，且p0B．p为奇数，且p0C．p为偶数，且p0D．p为偶数，且p0答案D解析因为函数3pyx＝的图象关于y轴对称，所以函数3pyx＝为偶函数，即p为偶数，又函数3pyx＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，所以p30，即p0.(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y＝254mmx－＋(m∈Z)为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值可以为()A．1B．2C．3D．4答案BC解析因为函数在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m2－5m＋40，解得1m4，因为m∈Z，所以m＝2或3，当m＝2时，函数y＝x－2为偶函数，符合题意；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君当m＝3时，函数y＝x－2为偶函数，符合题意，综上，m＝2或m＝3.题型二二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解方法一(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋－12＝12，所以m＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三(利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a－2a－1－－a24a＝8.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________．答案y＝12x2＋x－32或y＝－12x2－x＋32解析因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为－12a2－4a24a＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以|－4a|＝2，即a＝±12，所以二次函数的解析式为y＝12x2＋x－32或y＝－12x2－x＋32.题型三二次函数的图象与性质命题点1二次函数的图象例3设abc0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()答案D解析因为abc0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a0，b0，c0，不符合题意；B中，a0，b0，c0，不符合题意；C中，a0，b0，c0，不符合题意；D中，a0，b0，c0，符合题意．命题点2二次函数的单调性与最值公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君例4(2023·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；(2)若a0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．解(1)当a0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝12a，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足12a≥2，a0，解得0a≤14.当a0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝12a0，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a0，综上，a的取值范围是(－∞，0)∪0，14.(2)①当012a1，即a12时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.②当1≤12a≤2，即14≤a≤12时，f(x)在区间1，12a上单调递减，在区间12a，2上单调递增，此时g(a)＝f12a＝2a－14a－1.③当12a2，即0a14时，f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3，综上所述，g(a)＝6a－3，a∈0，14，2a－14a－1，a∈14，12，3a－2，a∈12，＋∞.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3(1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君正确的是()A．2a＋b＝0B．4a＋2b＋c0C．9a＋3b＋c0D．abc0答案ACD解析由二次函数图象开口向下知，a0，对称轴为x＝－b2a＝1，即2a＋b＝0，故b0.又因为f(0)＝c0，所以abc0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c0.(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____．答案[2,4]解析解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值为4.所以b－a的取值范围是[2,4]．课时精练1．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案D解析f(x)＝x－2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故充分性不成立；f(x)＝2x－1的图象过点(0,0)，但其不是幂函数，故必要性不成立．所以p是q的既不充分也不必要条件．2．(2023·保定检测)已知a＝432，b＝233，c＝1225，则()A．bacB．abcC．bcaD．cab答案A解析由题意得b＝224333342=＝a，a＝432＝23445＝1225＝c，所以bac.3．(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是()答案C解析若a0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于选项B，由直线可知a0，b0，从而－b2a0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.4．已知函数f(x)＝x2