2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.7　指数与指数函数

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§2.7指数与指数函数考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.(2)式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(na)n＝a.当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：mna＝nam(a0，m，n∈N*，n1)．正数的负分数指数幂：mna－＝1mna＝1nam(a0，m，n∈N*，n1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a0，b0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，y1；当x0时，0y1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，－1，1a.2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则cd1ab0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)4－44＝－4.(×)(2)2a·2b＝2ab.(×)(3)函数y＝13x－1的值域是(0，＋∞)．(×)(4)若aman(a0，且a≠1)，则mn.(×)教材改编题1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于()A．不确定B．0C．1D．2答案C解析由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.2．计算：22232713－－＋－－＝________.答案1解析原式＝2333－＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.3．若指数函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.答案2或12公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析若a1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0a1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝12.题型一指数幂的运算例1计算：(1)(－1.8)0＋32－2·33382－10.01＋93；(2)3112123324140.1abab(a0，b0)．解(1)(－1.8)0＋32－2·33382－10.01＋93＝1＋2233222710938＝1＋232·322－10＋33＝1＋1－10＋27＝19.(2)3112123324140.1abab＝331322223322240.1abab＝2×1100×8＝425.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1计算：(1)933713332÷·aaaa；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)013633470.001+16+238.解(1)因为a－3有意义，所以a0，所以原式＝7139333322aaaa＝3a3÷a2＝a÷a＝1.(2)原式＝61113343234101+2+23－＝10－1＋8＋23·32＝89.题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是()A．abB．若a0，则ba0C．|a||b|D．若0alog32，则abba答案BCD解析如图，由指数函数的图象可知，0ab或者ba0，所以A错误，B，C正确；D选项中，0alog32⇒0ab1，则有abaaba，所以D正确．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君跟踪训练2(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1B．0a1C．b0D．b0答案BD解析由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴0a1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，如图，∴－b0，∴b0，故D正确．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式大小例3设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则()A．bcaB．cabC．abcD．bac答案D解析b＝2－0.420＝1，c＝90.4＝30.830.7＝a30＝1，所以bac.命题点2解简单的指数方程或不等式例4(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是()A．[2,4]B．(－∞，0)C．(0,1)∪[2,4]D．(－∞，0]∪[1,2]答案D解析∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝8x＋a·2xa·4x(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．解(1)f(x)＝1a×2x＋12x，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以1a×12x＋2x＝－1a×2x＋12x，所以1a＋12x＋12x＝0，即1a＋1＝0，解得a＝－1.(2)因为f(x)＝12x－2x，x∈[1,2]，所以122x－22x≥m12x－2x，所以m≥12x＋2x，x∈[1,2]，令t＝2x，t∈[2,4]，由于y＝t＋1t在[2,4]上单调递增，所以m≥4＋14＝174.思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝3x－13x＋1，下列说法正确的有()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(－1,1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，fx1－fx2x1－x20公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案AC解析对于A中，由f(－x)＝3－x－13－x＋1＝－3x－13x＋1＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；对于C中，设y＝3x－13x＋1，可得3x＝1＋y1－y，所以1＋y1－y0，即1＋yy－10，解得－1y1，即函数f(x)的值域为(－1,1)，所以C正确；对于D中，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，fx1－fx2x1－x20，可得函数f(x)为减函数，而f(x)＝3x－13x＋1＝1－23x＋1为增函数，所以D错误．(2)已知函数f(x)＝24313axx－＋，若f(x)有最大值3，则a的值为________．答案1解析令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝13g(x)，∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，则a0，3a－4a＝－1，解得a＝1.课时精练1．若m＝5π－35，n＝4π－44，则m＋n的值为()A．－7B．－1C．1D．7答案C解析m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为()A.12B．1C.32D．2答案D解析由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝12.当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君当a＝12时，f(x)＝12x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．∴a＝2.3．函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是()答案D解析当a1时，01a1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y＝ax－1a的图象由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度可得，故A，B错误；当0a1时，1a1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y＝ax－1a的图象由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度可得，故D正确，C错误．4．已知1122xx－＋＝5，则x2＋1x的值为()A．5B．23C．25D．27答案B解析因为1122xx－＋＝5，所以21122xx－＋＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，所以x2＋1x＝x＋1x＝x＋x－1＝23.5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(ab)，则()A．2a＋2b2B．∃a，b∈R，使得0a＋b1C．2a＋2b＝2D．a＋b0答案CD解析画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错，C对．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君由基本不等式可得2＝2a＋2b22a·2b＝22a＋b，所以2a＋b1，则a＋b0，故B错，D对．6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝nmx的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为()A．(0,6]B．(0,20]C．[2,6]D．[2,20]答案C解析令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)，所以m＝1，n＝2，f(x)＝nmx＝2x，由0≤x≤2，0≤2x≤2，解得x∈[0,1]，g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，则y＝t2＋t，t∈[1,2]，所以g(x)的值域为[2,6]．7．计算化简：(1)1123232770.02721259＝________；(2)223113132ababbaab＝________.答案(1)0.09(2)1566ab解析(1)112323277(0.027)21259＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53