2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.9　指、对、幂的大小比较[培优课]

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§2.9指、对、幂的大小比较指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．题型一直接法比较大小命题点1利用函数的性质例1设a＝2343，b＝3443，c＝3432，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cbaD．bca答案C解析因为函数y＝43x是增函数，所以23433443，即ab，又因为函数y＝34x在(0，＋∞)上单调递增，所以34433432，所以bc，故cba.命题点2找中间值例2(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝122，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．acbC．bacD．cba答案C解析因为1＝log55log53log55＝log5125＝12，即12a1，b＝12220＝1,7－0.5＝12171214＝12，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君即0c12，所以bac.命题点3特殊值法例3已知ab1,0c12，则下列结论正确的是()A．acbcB．abcbacC．alogbcblogacD．logaclogbc答案C解析取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝14，则ac＝144，bc＝142，∴acbc，故A错误；abc＝4×142＝942，bac＝2×144＝322，∴abcbac，故B错误；logac＝log414＝－1，logbc＝log214＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbcblogac，logaclogbc，故C正确，D错误．思维升华利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22log23log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．跟踪训练1(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，则()A．abcB．acbC．cbaD．cab答案D解析因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，所以1.60.60.60.60，又b＝lg0.6lg1＝0，所以cab.(2)已知a＝43，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．cbaC．bacD．acb答案A公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析因为a＝43＝log3433，43(3)＝34＝8143＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log3433log34，即ab.又因为b＝log34log33＝1，c＝3－0.130＝1，即bc，所以abc.题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小例4(1)已知a＝1414，b＝1515，c＝14log15，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．cbaC．bcaD．cab答案A解析c＝14log1514log14＝1，a＝1414＝152014＝12011024，b＝142015＝1201625，因为y＝120x在(0，＋∞)上单调递增，且110241625，所以ab，又120162516250＝1，即b1，所以abc.(2)(2020·全国Ⅲ)已知5584，13485.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则()A．abcB．bacC．bcaD．cab答案A解析∵log53－log85＝log53－1log58＝log53·log58－1log58log53＋log5822－1log58＝log52422－1log58log52522－1log58＝0，∴log53log85.∵5584，13485，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴5log854，45log138，∴log85log138，∴log53log85log138，即abc.思维升华求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．跟踪训练2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．bacC．bcaD．cba答案B解析c＝930＝360，a＝2100⇒lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，b＝365⇒lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，c＝930⇒lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgblgalgc，即bac.(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则()A．bacB．cbaC．acbD．abc答案D解析由题意得，a＝log63＝log662＝1－log62＝1－1log26，b＝log84＝log882＝1－log82＝1－1log28，c＝log105＝log10102＝1－log102＝1－1log210，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log26log28log210，则1log261log281log210，所以abc.题型三构造函数比较大小例5(1)已知a＝22－ln2e2，b＝ln22，c＝1e，则a，b，c的大小关系为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．abcB．bacC．acbD．bca答案B解析a＝2－ln2e22＝lne22e22，c＝1e＝lnee，令f(x)＝lnxx，∴a＝fe22，b＝f(2)，c＝f(e)，∴f′(x)＝1－lnxx2，∴当x∈(0，e)时，f′(x)0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)＝lnee＝c，∴ac，bc，又b＝ln22＝2ln24＝ln44＝f(4)，∵4e22，∴f(4)fe22，∴ba，∴bac.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln0.9，则()A．abcB．cbaC．cabD．acb答案C解析设u(x)＝xex(0x≤0.1)，v(x)＝x1－x(0x≤0.1)，w(x)＝－ln(1－x)(0x≤0.1)．则当0x≤0.1时，u(x)0，v(x)0，w(x)0.①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]＝lnx＋x－[lnx－ln(1－x)]＝x＋ln(1－x)(0x≤0.1)，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则f′(x)＝1－11－x＝xx－10在(0,0.1]上恒成立，所以f(x)在(0,0.1]上单调递减，所以f(0.1)f(0)＝0＋ln(1－0)＝0，即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]0，所以ln[u(0.1)]ln[v(0.1)]．又函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以u(0.1)v(0.1)，即0.1e0.119，所以ab.②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0x≤0.1)，则g′(x)＝(x＋1)ex－11－x＝1－x2ex－11－x(0x≤0.1)．设h(x)＝(1－x2)ex－1(0x≤0.1)，则h′(x)＝(1－2x－x2)ex0在(0,0.1]上恒成立，所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，所以h(x)h(0)＝(1－02)×e0－1＝0，即g′(x)0在(0,0.1]上恒成立，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，所以g(0.1)g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)0，所以0.1e0.1－ln0.9，即ac.综上，cab，故选C.思维升华某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．跟踪训练3(1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为()A．bcaB．cbaC．acbD．abc答案D解析令f(x)＝(14－x)lnx，则f′(x)＝－lnx＋14x－1.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君因为y＝－lnx在(0，＋∞)上单调递减，y＝14x－1在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)＝－lnx＋14x－1在(0，＋∞)上单调递减．而f′(5)＝－ln5＋145－10，f′(6)＝－ln6＋146－10，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)＝(14－x)lnx在(6，＋∞)上单调递减．所以f(6)f(7)f(8)，即8ln67ln76ln8，故687786.故abc.(2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－27，b＝41.1－4，c＝2ln1.1，则()A．abcB．acbC．bacD．cab答案B解析∵(e1.3)2＝e2.6e333，(27)2＝2833，∴e1.327，∴a0；b－c＝41.1－4－2ln1.1＝2(21.1－2－ln1.1)，令f(x)＝2x－2－lnx，∴f′(x)＝1x－1x＝x－1x，∴当0x1时，f′(x)0，f(x)单调递减，当x1时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴f(1.1)0，即21.1－2－ln1.10，∴cb，又c＝2ln1.12ln1＝0，∴acb.课时精练1．设a＝3434，b＝432，c＝log232，则a，b，c的大小关系是()A．bacB．cabC．bcaD．acb公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案B解析a＝3434＝34431，且3443432＝b，又c＝log232log22＝1.故cab.2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝12，则下列判断正确的是()A．cbaB．bacC．acbD．abc答案C解析a＝log52log55＝12＝log822log83＝b，即acb.3．设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为()A．bcaB．cbaC．abcD．bac答案A解析由c＝2－log32＝log39－log32＝log392log34＝2log32＝b，a－c＝log23＋log32－22log23×log32－2＝2－2＝0，所以ac，所以bca.4．(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则()A．xyzB．yxzC．zxyD．xzy答案A解析因为3x＝4y＝10，所以x＝log310log39＝2；1＝log44y＝log410log416＝2，则1y2，所以xy1，而z＝logxylogxx＝1，所以xyz.5．设x，