2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§3.1导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|0xx＝.f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f′(x)＝y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝1xlna公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君f(x)＝lnxf′(x)＝1x4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.1fx′＝－f′x[fx]2(f(x)≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)(4)(cos2x)′＝－2sin2x.(√)教材改编题1．若函数f(x)＝3x＋sin2x，则()A．f′(x)＝3xln3＋2cos2xB．f′(x)＝3x＋2cos2xC．f′(x)＝3xln3＋cos2xD．f′(x)＝3xln3－2cos2x答案A解析因为函数f(x)＝3x＋sin2x，所以f′(x)＝3xln3＋2cos2x.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君2．函数f(x)＝ex＋1x在x＝1处的切线方程为．答案y＝(e－1)x＋2解析由题意得，f′(x)＝ex－1x2，∴f′(1)＝e－1，又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3．已知函数f(x)＝xlnx＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝.答案－1e解析由题意得f′(x)＝1＋lnx＋2ax，∴f′(e)＝2ae＋2＝0，解得a＝－1e.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导正确的是()A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2C.2sinxx2′＝2xcosx＋4sinxx3D．(2x＋cosx)′＝2xln2－sinx答案ABD解析对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3lnx)′＝(x3)′lnx＋x3(lnx)′＝3x2lnx＋x2，故B正确；对于C，2sinxx2′＝2sinx′x2－2sinxx2′x4＝2xcosx－4sinxx3，故C错误；对于D，(2x＋cosx)′＝(2x)′＋(cosx)′＝2xln2－sinx，故D正确．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于()A．1B．－9C．－6D．4答案C解析因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(1)(多选)下列求导运算正确的是()A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝xex，则f′(x)＝1－xexD．若f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1答案ACD解析f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝xex，f′(x)＝ex－xexex2＝1－xex，故C正确；f(x)＝xlnx，f′(x)＝(x)′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1，故D正确．(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′π3sinx，则fπ6＝.答案π236＋2π3解析∵f′(x)＝2x＋f′π3cosx，∴f′π3＝2π3＋12f′π3，∴f′π3＝4π3，∴f(x)＝x2＋4π3sinx，∴fπ6＝π236＋2π3.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2lnx＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为()A．4ex－y＋e2＝0B．4ex－y－e2＝0C．4ex＋y＋e2＝0D．4ex＋y－e2＝0答案B解析因为f(x)＝2e2lnx＋x2，所以f′(x)＝2e2x＋2x，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以f(e)＝2e2lne＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________.答案y＝1exy＝－1ex解析先求当x0时，曲线y＝lnx过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0＝y0x0，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切线斜率为1e，切线方程为y＝1ex.同理可求得当x0时的切线方程为y＝－1ex.综上可知，两条切线方程为y＝1ex，y＝－1ex.命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝aln(x＋1)相切，则a＝________.答案e解析设切点坐标为(t，aln(t＋1))，对函数y＝aln(x＋1)求导得y′＝ax＋1，所以at＋1＝1，alnt＋1＝t＋1，解得t＝e－1，a＝e.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)0ex)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|0xx＝＝(x0＋a＋1)0ex＝000()exxax，化简，得x20＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x20＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a0，解得a－4或a0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．跟踪训练2(1)曲线f(x)＝x2＋x－2ex在(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝－3x－2D．y＝－3x＋2答案A解析由题知f′(x)＝2x＋1ex－x2＋x－2exex2＝－x2＋x＋3ex，所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y＝acosxx在点π，－aπ处的切线方程为y＝2π2x＋b，则a的值是()A.4πB．－2C．－4πD．2答案D解析令y＝f(x)＝acosxx，则f′(x)＝－axsinx＋cosxx2，曲线在点π，－aπ处的切线的斜率为f′(π)＝aπ2＝2π2，解得a＝2.题型三两曲线的公切线例4(1)若直线l：y＝kx＋b(k1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝elnx的公切线，则l的纵截距b等于()A．0B．1C．eD．－e答案D解析设l与f(x)的切点为(x1，y1)，则由f′(x)＝ex－1，得l：y＝11exx－＋(1－x1)11ex－.同理，设l与g(x)的切点为(x2，y2)，则由g′(x)＝ex，得l：y＝ex2x＋e(lnx2－1)．故11ex－＝ex2，1－x111ex－＝elnx2－1.解得x1＝1，x2＝e或x1＝2，x2＝1.则l：y＝x或y＝ex－e.因为k1，所以l：y＝x不成立，故b＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝lnx－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．(0,2e]B.12e－3，＋∞C.0，12e－3D．[2e，＋∞)答案B解析设公切线与曲线y＝lnx－1和y＝ax2的切点分别为(x1，lnx1－1)，(x2，ax22)，其中x10，对于y＝lnx－1有y′＝1x，则y＝lnx－1的切线方程为y－(lnx1－1)＝1x1(x－x1)，即y＝xx1＋lnx1－2，对于y＝ax2有y′＝2ax，则y＝ax2的切线方程为y－ax22＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－ax22，所以1x1＝2ax2，lnx1－2＝－ax22，则－14ax21＝lnx1－2，即14a＝2x21－x21lnx1(x10)，令g(x)＝2x2－x2lnx，则g′(x)＝3x－2xlnx＝x(3－2lnx)，令g′(x)＝0，得x＝32e，当x∈(0，32e)时，g′(x)0，g(x)单调递增；当x∈(32e，＋∞)时，g′(x)0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(32e)＝12e3，故014a≤12e3，即a≥12e－3.思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6lnx－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于(