2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　§3.2　导数与函数的单调性

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§3.2导数与函数的单调性考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)0有解．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(√)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(×)(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数．(√)教材改编题1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案C解析由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，∴f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)0，∴f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)单调递增．2．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)答案A解析∵f′(x)＝2x－2x＝2x＋1x－1x(x0)，令f′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)，∴当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增．3．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则fπ5，f(1)，fπ3的大小关系为________________．(用“”连接)答案fπ5f(1)fπ3解析因为f(x)＝xsinx，当x∈0，π2时，f′(x)＝sinx＋xcosx0，所以函数f(x)在0，π2上单调递增，又因为0π51π3π2，所以fπ5f(1)fπ3.题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝xlnx－3x＋2的单调递减区间为________．答案(0，e2)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君f′(x)＝lnx－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．(2)若函数f(x)＝lnx＋1ex，则函数f(x)的单调递增区间为________．答案(0,1)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－lnx－1ex，令φ(x)＝1x－lnx－1(x0)，φ′(x)＝－1x2－1x0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f(x)＝x－lnx－exx.判断函数f(x)的单调性．解因为f(x)＝x－lnx－exx，所以f′(x)＝1－1x－x－1exx2＝x－1x－exx2(x0)．令g(x)＝x－ex，则g′(x)＝1－ex，可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)g(0)＝－10.所以当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．题型二含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)＝(2－a)x－lnx－1，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)若a0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间．解(1)当a＝1时，f(x)＝x－lnx－1，则f′(x)＝1－1x＝x－1x(x0)，当x1时，f′(x)0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．(2)g(x)＝ax2＋(2－a)x－lnx－1(a0)，其定义域为(0，＋∞)，∴g′(x)＝2ax＋2－a－1x＝2ax2＋2－ax－1x＝2x－1ax＋1x(a0)，令g′(x)＝0，可得x1＝12，x2＝－1a0，①若－1a12，即－2a0，当0x12或x－1a时，g′(x)0；当12x－1a时，g′(x)0，∴g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞，单调递增区间为12，－1a；②若－1a＝12，即a＝－2，则g′(x)≤0，∴g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；③若0－1a12，即a－2，当0x－1a或x12时，g′(x)0；当－1ax12时，g′(x)0，∴g(x)的单调递减区间为0，－1a，12，＋∞，单调递增区间为－1a，12.综上，当－2a0时，g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞，单调递增区间为12，－1a；当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当a－2时，g(x)的单调递减区间为0，－1a，12，＋∞，单调递增区间为－1a，12.思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．解g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，①若aln2，则当x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，g′(x)0，当x∈(ln2，a)时，g′(x)0，∴g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君②若a＝ln2，则g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增，③若aln2，则当x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，g′(x)0，当x∈(a，ln2)时，g′(x)0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．综上，当aln2时，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，g(x)在R上单调递增；当aln2时，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)下列不等式成立的是()A．2ln3232ln2B.2ln33ln2C．5ln44ln5D．πelnπ答案AD解析设f(x)＝lnxx(x0)，则f′(x)＝1－lnxx2，所以当0xe时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当xe时，f′(x)0，函数f(x)单调递减．因为322e，所以f32f(2)，即2ln3232ln2，故选项A正确；因为23e，所以f(2)f(3)，即2ln33ln2，故选项B不正确；因为e45，所以f(4)f(5)，即5ln44ln5，故选项C不正确；因为eπ，所以f(e)f(π)，即πelnπ，故选项D正确．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)已知函数f(x)＝cosx＋ex＋e－x－12x2，则关于x的不等式f(2x－1)f(3＋x)的解集为()A．(－1,2)B.－23，4C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.－∞，－23∪(4，＋∞)答案B解析f′(x)＝ex－e－x－sinx－x，令g(x)＝ex－e－x－sinx－x，则g′(x)＝ex＋e－x－cosx－1≥2ex·e－x－cosx－1＝1－cosx≥0，当且仅当x＝0时等号成立，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(0)＝0，∴当x∈[0，＋∞)时，g(x)≥g(0)＝0，∴f′(x)≥0，∴当x∈(－∞，0)时，g(x)g(0)＝0，∴f′(x)0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴关于x的不等式f(2x－1)f(3＋x)可转化为|3＋x||2x－1|，解得－23x4.即关于x的不等式f(2x－1)f(3＋x)的解集为－23，4.命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f(x)＝lnx－12ax2－2x(a≠0)．(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．解(1)因为f(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，f′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．设G(x)＝1x2－2x，x∈[1,4]，所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是－716，0∪(0，＋∞)．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则f′(x)0在[1,4]上有解，所以当x∈[1,4]时，a1x2－2x有解，又当x∈[1,4]时，1x2－2xmin＝－1(此时x＝1)，所以a－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝1ex－ex＋2x－13x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围是________．答案－1≤a≤13解析由题意得f′(x)＝－1ex－ex＋2－x2＝－ex＋1ex＋2－x2，因为ex＋1ex≥2ex·1ex＝2，当且仅当x＝0时等号成立，所以f′(x)≤0，所以函数f(x)在R上单调递减，又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0⇒f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，即3a2≤1－2a，解得－1≤a≤13.(2)已知函数f(x)＝－12x2－3x＋4lnx在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围