2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　§3.3　导数与函数的极值、最值

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§3.3导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(√)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(×)(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(√)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君教材改编题1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4答案A解析由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个．2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×20，解得a6或a－6.3．若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.答案4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)0，当x∈(2,3]时，f′(x)0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.题型一利用导数求解函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是()A．当x＝－1时，f(x)取得极小值B.f(x)在[－2,1]上单调递增C．当x＝2时，f(x)取得极大值D.f(x)在[－1,2]上不具备单调性答案AC公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析由导函数f′(x)的图象可知，当－2x－1时，f′(x)0，则f(x)单调递减；当x＝－1时，f′(x)＝0；当－1x2时，f′(x)0，则f(x)单调递增；当x＝2时，f′(x)＝0；当2x4时，f′(x)0，则f(x)单调递减；当x＝4时，f′(x)＝0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确；f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误．命题点2求已知函数的极值例2(2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值．解因为f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋4ax＋2a＋2＝2ax＋12x＋1x，若a0，则当x∈0，－12a时，f′(x)0；当x∈－12a，＋∞时，f′(x)0，故函数f(x)在0，－12a上单调递增，在－12a，＋∞上单调递减；故f(x)在x＝－12a处取得唯一的极大值，且极大值为f－12a＝ln－12a－12a－1.若a0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．综上，当a0时，f(x)的极大值为ln－12a－12a－1，无极小值；当a0时，f(x)无极值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为()A．2B．4C．6D．2或6答案A解析由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈－∞，23时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈23，2时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意．综上，c＝2.(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为()A.－12，0B.－∞，－12C.0，12D.12，＋∞答案D解析由f(x)＝ex－ax2－2ax，得f′(x)＝ex－2ax－2a.因为函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，所以f′(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点，令f′(x)＝0，得12a＝x＋1ex，设g(x)＝x＋1ex，y＝12a；则g′(x)＝－xex，令g′(x)＝0，即－xex＝0，解得x＝0，当x0时，g′(x)0；当x0时，g′(x)0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．分别作出函数g(x)＝x＋1ex与y＝12a的图象，如图所示，由图可知，012a1，解得a12，所以实数a的取值范围为12，＋∞.思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为()A．－1或3B．1或－3C．3D．－1答案C解析因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，②联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，f(x)在－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在13，1上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极小值10，不符合题意；当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意．综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3.(2)(2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝exx2＋2klnx－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是()A．(0,2]B．[2，＋∞)C.－∞，e2D.－∞，e24答案D解析由题意，f(x)＝exx2＋2klnx－kx(x0)，f′(x)＝x－2x·exx2－k，令f′(x)＝0得x＝2或k＝exx2，令φ(x)＝exx2(x0)，∴φ′(x)＝exx－2x3，∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(2)＝e24，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，∴若φ(x)＝k无实数根，则ke24，∵当k＝e24时，φ(x)＝k的解为x＝2，∴实数k的取值范围是－∞，e24.题型二利用导数求函数最值命题点1不含参函数的最值例4(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为()A．－π2，π2B．－3π2，π2C．－π2，π2＋2D．－3π2，π2＋2答案D解析f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)·cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0,2π]．令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝π2或x＝3π2.因为fπ2＝cosπ2＋π2＋1sinπ2＋1＝2＋π2，f3π2＝cos3π2＋3π2＋1sin3π2＋1＝－3π2，又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，所以f(x)max＝fπ2＝2＋π2，f(x)min＝f3π2＝－3π2.故选D.命题点2含参函数的最值例5已知函数f(x)＝x－ax－lnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在1e，e上的最大值g(a)．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－xx2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君①若a≤0，则f′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②若a0，则当xa时，f′(x)0；当0xa时，f′(x)0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．(2)f′(x)＝a－xx2，当a≤1e时，f(x)在1e，e上单调递减，所以f(x)max＝f1e＝2－ae；当1eae时，f(x)在1e，a上单调递增，在[a，e]上单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝－lna；当a≥e时，f(x)在1e，e上单调递增，所以f(x)max＝f(e)＝－ae，综上，g(a)＝－ae，a≥e，－lna，1eae，2－ae，a≤1e.思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为________．答案1解析函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的定义域为(0，＋∞)．①当x12时，f(x)＝2x－1－2lnx，所以f′(x)＝2－2x＝2x－1x，当12x1时，f′(x)0，当x1时，f′(x)0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln1＝1；②当0x≤12时，f(x)＝1－2x－2lnx在0，12上单调递减，所以f(x)min＝f12＝－2ln12＝2ln2公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝ln4lne＝1.综上，f(x)min＝1.(2)已知函数h