2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ.2．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β＝tanα－tanβtanα－β－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(√)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(×)(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)(4)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(×)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君教材改编题1．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A．－32B.32C．－12D.12答案D解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12.2．若将sinx－3cosx写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φπ，则φ＝.答案π3解析因为sinx－3cosx＝212sinx－32cosx，所以cosφ＝12，sinφ＝32，因为0≤φπ，所以φ＝π3.3．已知α∈π2，π，且sinα＝45，则tanα＋π4的值为．答案－17解析因为α∈π2，π，且sinα＝45，所以cosα＝－1－452＝－35，tanα＝sinαcosα＝45－35＝－43.所以tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝－43＋11－－43×1＝－17.题型一两角和与差的三角函数公式例1(1)计算：cos55°＋sin25°cos60°cos25°等于()A．－32B.32C．－12D.12答案B解析cos55°＋sin25°cos60°cos25°公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝cos30°＋25°＋12sin25°cos25°＝32cos25°－12sin25°＋12sin25°cos25°＝32.(2)(2023·青岛模拟)已知tanα＝1＋m，tanβ＝m，且α＋β＝π4，则实数m的值为()A．－1B．1C．0或－3D．0或1答案C解析因为α＋β＝π4，所以tan(α＋β)＝tanπ4⇒tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1⇒1＋m＋m1－mm＋1＝1⇒m2＋3m＝0，解得m＝0或m＝－3.思维升华两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1(1)(2023·茂名模拟)已知0απ2，sinπ4－α＝26，则sinα1＋tanα的值为()A.41451B.21413C.41751D.21713答案C解析因为sinπ4－α＝26，所以22(cosα－sinα)＝26.所以cosα－sinα＝13，所以1－2sinαcosα＝19，得sinαcosα＝49，因为cosα＋sinα＝1＋2sinαcosα＝173，所以sinα1＋tanα＝sinα1＋sinαcosα＝sinαcosαcosα＋sinα公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝49173＝41751.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cosα＋π4sinβ，则()A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1答案C解析由题意得sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝22×22(cosα－sinα)sinβ，整理得sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.题型二两角和与差的公式逆用与辅助角公式例2(1)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为()A.14B.13C.12D.53答案B解析在△ABC中，∵C＝120°，∴tanC＝－3.∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tanC＝3.∴tanA＋tanB＝3(1－tanAtanB)，又∵tanA＋tanB＝233，∴tanAtanB＝13.(2)(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，则sinα＝，cos2β＝.答案3101045解析因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sinπ2－α＝3sinα－cosα＝10sin(α－φ)＝10，其中sinφ＝1010，cosφ＝31010.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以α－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以α＝π2＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sinπ2＋φ＋2kπ＝cosφ＝31010，k∈Z.因为sinβ＝3sinα－10＝－1010，所以cos2β＝1－2sin2β＝1－15＝45.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2(1)(2022·咸阳模拟)已知sinx－π6＝33，则sinx＋sinx－π3等于()A．1B．－1C.233D.3答案A解析因为sinx－π6＝33，所以sinx＋sinx－π3＝sinx＋12sinx－32cosx＝3sinx－π6＝1.(2)满足等式(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．答案0，π4(答案不唯一)解析由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，得1＋tanβ＋tanα＋tanαtanβ＝2，所以tanβ＋tanα＝1－tanαtanβ，所以tanβ＋tanα1－tanαtanβ＝1，所以tan(α＋β)＝1，所以α＋β＝kπ＋π4，k∈Z，所以α可以为0，β可以为π4(答案不唯一)．题型三角的变换问题例3(1)(2020·全国Ⅲ)已知sinθ＋sinθ＋π3＝1，则sinθ＋π6等于()A.12B.33C.23D.22答案B公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析因为sinθ＋sinθ＋π3＝sinθ＋π6－π6＋sinθ＋π6＋π6＝sinθ＋π6cosπ6－cosθ＋π6sinπ6＋sinθ＋π6cosπ6＋cosθ＋π6sinπ6＝2sinθ＋π6cosπ6＝3sinθ＋π6＝1.所以sinθ＋π6＝33.(2)已知α，β为锐角，sinα＝31010，cos(α＋β)＝－55.则sin(2α＋β)的值为．答案－210解析因为0απ2，sinα＝31010，所以cosα＝1－sin2α＝1－910＝1010，因为0απ2，0βπ2，所以0α＋βπ，因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝1－15＝255，所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝31010×－55＋1010×255＝－210.思维升华常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－π4－α等．跟踪训练3(1)(2023·青岛质检)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝2425，则cosα＋π4＝________.答案－45解析由题意知，α＋β∈3π2，2π，sin(α＋β)＝－350，所以cos(α＋β)＝45，因为sinβ－π4＝2425，β－π4∈π2，3π4，所以cosβ－π4＝－725，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以cosα＋π4＝cosα＋β－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝－45.(2)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝，tanα＝.答案－112解析∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tanα＋2β－tanβ1＋tanα＋2βtanβ＝2－－31＋2×－3＝－1，tanα＝tan(α＋β－β)＝tanα＋β－tanβ1＋tanα＋βtanβ＝－1－－31＋－1×－3＝12.课时精练1．(2023·苏州模拟)cos24°cos36°－sin24°cos54°等于()A．cos12°B．－cos12°C．－12D.12答案D解析cos24°cos36°－sin24°cos54°＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝12.2．(2023·合肥模拟)已知sinα＋cosα＝23，则sinα－3π4等于()A．±13B.13C．－13D．－223答案C解析∵sinα＋cosα＝2sinα＋π4＝23，∴sinα＋π4＝13，∴sinα－3π4＝sinα＋π4－π＝－sinα＋π4＝－13.3．(2023·重庆模拟)若2cos80°＝cos20°＋λsin20°，则λ等于()A．－3B．－1C．1D.3答案A解析由已知可得λ＝2cos80°－cos20°sin20°＝2cos20°＋60°－cos20°sin20°＝－3sin20°sin20°＝－3.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君4．(2023·西安模拟)已知2cosα＋π6＝sinα，则sinαcosα等于()A．－34B.34C．－237D.237答案D解析2cosα＋π6＝sinα，即2cosαcosπ6－2sinαsinπ6＝sinα，即3cosα－sinα＝sinα，则tanα＝32，所以sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝237.5．(2023·扬州质检)已知sinα＝55，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为()A.π4B.3π4C.π3D.2π3答案B解析sinα＝55，且α