2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§4.6函数y＝Asin(ωx＋φ)考试要求1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2π3π22πx0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君常用结论1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(×)(2)函数f(x)＝sin2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)＝sin2x－π6.(×)(3)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得函数解析式为y＝sin12x.(×)(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2.(√)教材改编题1．函数y＝2sin2x＋π4的振幅、频率和初相分别为()A．2，1π，π4B．2，12π，π4C．2，1π，π8D．2，12π，－π8答案A解析由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin2x＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin3x＋π5图象上所有的点()A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度答案D解析因为y＝2sin3x＋π5＝2sin3x＋π15，所以要得到函数y＝sin3x的图象，只要把函数y＝2sin3x＋π5图象上所有的点向右平移π15个单位长度即可，故选D.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin5π12t－π6，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.答案1解析当t＝12时，f(12)＝2sin5π－π6＝2sin5π6＝1，即12点时潮水的高度是1m.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx－π4的图象，则f(x)等于()A．sinx2－7π12B．sinx2＋π12C．sin2x－7π12D．sin2x＋π12答案B解析依题意，将y＝sinx－π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sinx－π4―――――――――――――→将其图象向左平移3个单位长度y＝sinx＋π12的图象――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍f(x)＝sinx2＋π12的图象．(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是()A.16B.14C.13D.12答案C解析记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sinωx＋π2＋π3＝sinωx＋π2ω＋π3.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以π2ω＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得ω＝2k＋13(k∈Z)．因为ω＞0，所以ωmin＝13.故选C.思维升华(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移φω(ω0，φ0)个公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练1(1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋π3，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是()A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度C．先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度D．先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度答案C解析A项，先把曲线C1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos12x的图象，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度得y＝cos12x－π6＝cos12x－π12＝－sin12x－7π12的图象，故A错误；B项，先把曲线C1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos12x的图象，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度得y＝cos12x＋π6＝cos12x＋π12＝sin12x＋7π12的图象，故B错误；C项，先把曲线C1上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得y＝cos2x的图象，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度得y＝cos2x－π12＝cos2x－π6＝sin2x＋π3的图象，故C正确；D项，先把曲线C1上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得y＝cos2x的图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度得y＝cos2x＋π12＝cos2x＋π6＝sin2x＋2π3的图象，故D错误．(2)(2023·宁波模拟)将函数y＝tanωx－π2(ω0)的图象分别向左、向右各平移π6个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为()A.32B．2C．3D．6公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析将函数y＝tanωx－π2的图象向左平移π6个单位长度后，可得f(x)＝tanωx＋π6－π2＝tanωx＋π6ω－π2，将函数y＝tanωx－π2的图象向右平移π6个单位长度后，可得g(x)＝tanωx－π6－π2＝tanωx－π6ω－π2，因为函数f(x)与g(x)的对称中心重合，所以π6ω－π2－－π6ω－π2＝kπ2，k∈Z，即π3ω＝kπ2，k∈Z，解得ω＝3k2，k∈Z，又因为ω0，所以ω的最小值为32.题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)(2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为()A.－3π2＋3kπ，3kπ(k∈Z)B.3kπ，3kπ＋3π2(k∈Z)C.－7π4＋3kπ，－π4＋3kπ(k∈Z)D.－π4＋3kπ，5π4＋3kπ(k∈Z)答案C解析依题意，A＋b＝1，－A＋b＝－3，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解得A＝2，b＝－1，∴f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，而fπ12＝1，fπ3＝－1，∴T4＝π3－π12＝π4，故T＝π＝2πω，则ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)－1，而2cosπ6＋φ－1＝1，∴π6＋φ＝2kπ(k∈Z)，又|φ|π2，故φ＝－π6，∴f(x)＝2cos2x－π6－1.将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y＝2cos23x－π6－1，再向左平移π2个单位长度，得到g(x)＝2cos23x＋π3－π6－1＝2cos23x＋π6－1，令－π＋2kπ≤23x＋π6≤2kπ(k∈Z)，故－7π4＋3kπ≤x≤－π4＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间为－7π4＋3kπ，－π4＋3kπ(k∈Z)．(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则fπ2＝______.答案－3解析由题意可得，34T＝13π12－π3＝3π4，∴T＝π，ω＝2πT＝2，当x＝13π12时，ωx＋φ＝2×13π12＋φ＝2kπ，k∈Z，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴φ＝2kπ－136π(k∈Z)．令k＝1可得φ＝－π6，据此有f(x)＝2cos2x－π6，fπ2＝2cos2×π2－π6＝2cos5π6＝－3.思维升华确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2πT.(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．跟踪训练2(1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝cos－32x＋π6B．f(x)＝cos32x＋π6C．f(x)＝cos34x－π6D．f(x)＝cos34x＋π6答案B解析由图象知πT2π，即π2π|ω|2π，所以1|ω|2.因为图象过点－4π9，0，所以cos－4π9ω＋π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，所以ω＝－94k－34，k∈Z.因为1|ω|2，故k＝－1，得ω＝32，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以f(x)＝cos32x＋π6.(2)(2023·潍坊模拟)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π)的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f35π12＝________.答案1解析由题图可知，周期T＝π，ω＝2πT＝2，所以g(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|π)，因为点5π12，－2在g(x)的图象上，所以2sin5π6＋φ＝－2，所以5π6＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，得φ＝2π3＋2kπ，k∈Z，因为|φ|π，所以φ＝2π3，所以g(x)＝2sin2x＋2π3，所以f(x)＝gx－π6＝2sin2x－π6＋2π3＝2sin2x＋π3，故f35π12＝2sin2×35π12＋π3＝2sin6π－π6＋π3＝1.题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合应用例3(2023·临沂模拟)已知函数f(x)＝3sin2ωx＋cos2ωx(ω0)的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，则()A．g(x)在π4，π2上单调递减B．点π4，0是g(x)的一个对称中心C．g(x)是奇函数公众