2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.5　三角函数的图象与性质

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§4.5三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋π2}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2单调递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内单调递减．(×)(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(√)(3)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．(×)(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．(×)教材改编题1．若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则()A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝2答案A2．函数y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为________．答案π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)解析由－π2＋kπ2x－3π4π2＋kπ(k∈Z)，得π8＋kπ2x5π8＋kπ2(k∈Z)，所以y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)．3．函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时x＝________.答案53π4＋2kπ(k∈Z)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z).题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y＝cosx－32的定义域为()A.－π6，π6B.kπ－π6，kπ＋π6(k∈Z)C.2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)D．R答案C解析由cosx－32≥0，得cosx≥32，∴2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.(2)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．答案－4解析∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2cosx＋342＋178，－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f(x)有最小值－4.(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．答案－1＋222，1解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，∴sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－1＋222.∴函数y的值域为－1＋222，1.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思维升华三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1(1)(2021·北京)函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值()A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为98D．偶函数，最大值为98答案D解析由题意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cosx－cos2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2cosx－142＋98，所以当cosx＝14时，f(x)取最大值98.(2)函数y＝lgsinx＋cosx－12的定义域为________________．答案x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z解析要使函数有意义，则有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.所以函数y的定义域为x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.题型二三角函数的周期性与对称性例2(1)(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝3sin2x＋π6，则下列说法正确的是()A．图象关于点π6，0对称B．图象关于点π3，0对称C．图象关于直线x＝π6对称公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君D．图象关于直线x＝π3对称答案C解析由题可得，设2x＋π6＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2－π12，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为kπ2－π12，0(k∈Z)．设2x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得x＝kπ2＋π6，k∈Z，所以函数f(x)的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z)，通过对比选项可知，f(x)的图象关于直线x＝π6对称．(2)函数f(x)＝3sin2x－π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．答案5π6π4＋kπ2，1，k∈Z解析若f(x)＝3sin2x－π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝5π6＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝5π6.∴f(x)＝3sin2x＋π2＋1＝3cos2x＋1，由2x＝π2＋kπ，k∈Z得x＝π4＋kπ2，k∈Z，∴f(x)图象的对称中心为π4＋kπ2，1，k∈Z.思维升华(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω0)的周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω0)的周期为πω求解．跟踪训练2(1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sinωx＋π4＋b(ω0)的最小正周期为T.若2π3Tπ，且y＝f(x)的图象关于点3π2，2中心对称，则fπ2等于()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．1B.32C.52D．3答案A解析因为2π3Tπ，所以2π32πωπ，解得2ω3.因为y＝f(x)的图象关于点3π2，2中心对称，所以b＝2，且sin3π2ω＋π4＋b＝2，即sin3π2ω＋π4＝0，所以3π2ω＋π4＝kπ(k∈Z)，又2ω3，所以13π43π2ω＋π419π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以f(x)＝sin52x＋π4＋2，所以fπ2＝sin52×π2＋π4＋2＝sin3π2＋2＝1.故选A.(2)(多选)(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝3sin2x－π3，则下列结论正确的是()A．f(x)的最大值为3B．f(x)的最小正周期为πC．fx－π12为奇函数D．f(x)的图象关于直线x＝11π12对称答案ABD解析因为函数f(x)＝3sin2x－π3，所以f(x)的最大值为3，A正确；最小正周期T＝2π2＝π，B正确；fx－π12＝3sin2x－π12－π3＝3sin2x－π2＝－3cos2x为偶函数，C错误；f(x)的对称轴满足2x－π3＝π2＋kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝11π12，故D正确．题型三三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3函数f(x)＝sinπ3－2x的单调递减区间为________．答案kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析f(x)＝sinπ3－2x的单调递减区间是f(x)＝sin2x－π3的单调递增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所给函数的单调递减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.延伸探究若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间．解令A＝kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z，B＝[0，π]，∴A∩B＝0，5π12∪11π12，π，∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，5π12和11π12，π.命题点2根据单调性求参数例4(1)(2022·淄博模拟)若函数f(x)＝cosx－π3在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为()A.π3B.π2C.2π3D.π答案A解析函数f(x)＝cosx－π3的单调递增区间为－2π3＋2kπ，π3＋2kπ(k∈Z)，而函数f(x)又在[－a，a]上单调递增，所以－a≥－2π3，a≤π3⇒a≤π3，于是0a≤π3，即a的最大值为π3.(2)(2023·晋中模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω0)，且在π3，π2上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________．答案133解析f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2sinωx＋π3(ω0)．由2kπ－π2≤ωx＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得2kπω－5π6ω≤x≤2kπω＋π6ω，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为2kπω－5π6ω，2kπω＋π6ω(k∈Z)．由题知，π3，π2⊆2kπω－5π6ω，2kπω＋π6ω，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴2kπω－5π6ω≤π3，π2≤2kπω＋π6ω，k∈Z，∴6k－52≤ω≤4k＋13，k∈Z.∵ω0，∴当k＝0时，－52≤ω≤13，∴0ω≤13；当k＝1时，72≤ω≤133；当k≥2，k∈Z时，ω∈∅，∴ωmax＝133.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则()A．f(x)在－π2，－π6上单调递减B．f(x)在－π4，π12上单调递增C．f(x)在0，π3上单调递减D．f(x)在π4，