2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.7　三角函数中有关ω的范围问题[培优课]

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§4.7三角函数中有关ω的范围问题在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．题型一三角函数的单调性与ω的关系例1已知函数f(x)＝sinωx＋π6(ω0)在区间－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为()A.0，83B.0，12C.12，83D.38，2答案B解析方法一由题意得－ωπ4＋π6≥－π2＋2kπ，k∈Z，2ωπ3＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，则ω≤83－8k，k∈Z，ω≤12＋3k，k∈Z，又ω0，所以83－8k0，k∈Z，12＋3k0，k∈Z，所以k＝0，则0ω≤12.方法二取ω＝1，则f(x)＝sinx＋π6，令π2＋2kπ≤x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π3＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f(x)在区间π3，4π3上单调递减，与函数f(x)在区间－π4，2π3上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.思维升华确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．跟踪训练1(2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω0，若fπ6＝3，f(π)＝0，f(x)在π6，π3上单调递减，那么ω的取值共有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案D解析∵fπ6＝3，f(π)＝0，∴π－π6＝2n－14·T(n∈N*)，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君T＝10π32n－1，∵f(x)在π6，π3上单调递减，∴T2≥π3－π6＝π6，∴T≥π3，即10π32n－1≥π3，∴2n－1≤10，∴n＝1,2,3,4,5，即周期T有5个不同取值，∴ω的取值共有5个．题型二三角函数的对称性与ω的关系例2(多选)(2023·大同质检)将函数f(x)＝sinωx＋π6(ω0)的图象向右平移3π2ω个单位长度后得到函数g(x)的图象，若F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点π3，0对称，则ω可取的值为()A.13B.12C．1D．4答案CD解析将函数f(x)的图象向右平移3π2ω个单位长度，得到函数g(x)＝sinωx－3π2ω＋π6＝sinωx＋π6－3π2＝cosωx＋π6，又因为F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点π3，0对称，所以F(x)＝sinωx＋π6cosωx＋π6＝12sin2ωx＋π3的图象关于点π3，0对称，则2ω·π3＋π3＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－12，k∈Z，又因为ω0，所以ω的最小值为1，故ω可取的值为1,4.思维升华三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．跟踪训练2已知函数f(x)＝2sinωx－π6ω12，x∈R，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则ω的取值范围是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A.12，23∪89，76B.12，1724∪1718，2924C.59，23∪89，1112D.1118，1724∪1718，2324答案C解析因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，所以12×2πω≥4π－3π，所以12ω≤1，故排除A，B；又kπ＋π2≤3ωπ－π6，且kπ＋π＋π2≥4ωπ－π6，解得3k＋29≤ω≤3k＋512，k∈Z，当k＝0时，29≤ω≤512，不满足12ω≤1，当k＝1时，59≤ω≤23，符合题意，当k＝2时，89≤ω≤1112，符合题意，当k＝3时，119≤ω≤76，此时ω不存在，故C正确，D不正确．题型三三角函数的最值与ω的关系例3将函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω0，φ∈[0,2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是()A.712，1312B.712，1312C.1112，1712D.1112，1712答案C解析由已知得函数g(x)＝sin(ωx＋φ)，由g(x)图象过点0，32以及点在图象上的位置，知sinφ＝32，φ＝2π3，∵0≤x≤2π，∴2π3≤ωx＋2π3≤2πω＋2π3，由g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴5π2≤2πω＋2π37π2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴1112≤ω1712.思维升华利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．跟踪训练3(2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω0，|φ|≤π2，－π4为f(x)的零点，且f(x)≤fπ4恒成立，f(x)在区间－π12，π24上有最小值无最大值，则ω的最大值是()A．11B．13C．15D．17答案C解析由题意，直线x＝π4是f(x)的一条对称轴，所以fπ4＝±1，即π4ω＋φ＝k1π＋π2，k1∈Z，①又f－π4＝0，所以－π4ω＋φ＝k2π，k2∈Z，②由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，又f(x)在区间－π12，π24上有最小值无最大值，所以T≥π24－－π12＝π8，即2πω≥π8，解得ω≤16.综上，先检验ω＝15，当ω＝15时，由①得π4×15＋φ＝k1π＋π2，k1∈Z，即φ＝k1π－13π4，k1∈Z，又|φ|≤π2，所以φ＝－π4，此时f(x)＝sin15x－π4，当x∈－π12，π24时，15x－π4∈－3π2，3π8，当15x－π4＝－π2，即x＝－π60时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．故ω的最大值为15.题型四三角函数的零点与ω的关系例4将函数f(x)＝cosx的图象先向右平移5π6个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在π2，3π2上没有零点，则ω的取值范围是()A.0，29∪23，89B.0，89C.0，29∪89，1D．(0,1]公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析将函数f(x)＝cosx的图象先向右平移5π6个单位长度，得到y＝cosx－5π6的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cosωx－5π6(ω0)的图象，周期T＝2πω，因为函数g(x)在π2，3π2上没有零点，所以3π2－π2≤T2，得T≥2π，即2πω≥2π，得0ω≤1，假设函数g(x)在π2，3π2上有零点，令g(x)＝0，得ωx－5π6＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπω＋4π3ω，k∈Z，则π2kπω＋4π3ω3π2，得89＋2k3ω83＋2k，k∈Z，又0ω≤1，所以29ω23或89ω≤1，又函数g(x)在π2，3π2上没有零点，且0ω≤1，所以0ω≤29或23≤ω≤89.思维升华三角函数两个零点之间的“水平间隔”为T2，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值．跟踪训练4(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sinωx＋π3在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是()A.53，136B.53，196C.136，83D.136，196答案C解析由题意可得ω0，故由x∈(0，π)，得ωx＋π3∈π3，πω＋π3.根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知5π2πω＋π3≤7π2，得136ω≤196.根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2ππω＋π3≤3π，得53ω≤83.综上，ω的取值范围为136，83.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君课时精练1．已知函数f(x)＝cosωx＋π3(ω0)的一条对称轴为直线x＝π3，一个对称中心为点π12，0，则ω有()A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1答案A解析∵函数的对称中心到对称轴的最短距离是T4，两条对称轴间的最短距离是T2，∴对称中心点π12，0到对称轴x＝π3间的距离用周期可表示为π3－π12≥T4，又∵T＝2πω，∴2πω4≤π4，∴ω≥2，∴ω有最小值2.2．函数f(x)＝cosωx－π6(ω0)在区间π3，2π3内单调递减，则ω的最大值为()A.12B.74C.52D．6答案B解析∵x∈π3，2π3，则πω3－π6≤ωx－π6≤2πω3－π6，因为函数f(x)在区间π3，2π3内单调递减，则πω3－π6，2πω3－π6⊆[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以πω3－π6≥2kπ，2πω3－π6≤2kπ＋π(k∈Z)，解得6k＋12≤ω≤3k＋74(k∈Z)，由6k＋12≤3k＋74(k∈Z)，可得k≤512，因为k∈Z且ω0，则k＝0，12≤ω≤74.因此，正数ω的最大值为74.3．(2023·芜湖模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ∈(0,2π))的一条对称轴为直线x＝－π6，且f(x)在π，4π3上单调，则ω的最大值为()A.52B．3C.72D.83答案D公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析函数y＝sin(ωx＋φ)的对称轴可表示为x＝kπω－π6(k∈Z)，由f(x)在π，4π3上单调，可得∃k0∈Z，使得k0πω－π6≤π，k0＋1πω－π6≥4π3，解得67k0≤ω≤23(k0＋1)，又∵ω0，∴k0＝0,1,2,3，∴当k0＝3时，ω可取最大值为83.4．已知函数f(x)＝23sinωx2cosωx2＋2sin2ωx2－1(ω0)的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g(x)的图象关于坐标原点对称，则ω的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵f(x)＝23sinωx2cosωx2＋2sin2ωx2－1＝3sinωx－cosωx＝2sinωx－π6，∴g(x)＝2sinωx＋π12－π6＝2sinωx＋ωπ12－π6.又g(x)的图象关于坐标原点对称，∴ωπ12－π6＝kπ，k∈Z，∴ω＝12k＋2(k∈Z)，ω0，∴当k＝0时，ωmin＝2.5．函数f(x)＝sinωx＋π6(ω0)在区间－5π6，2π3上单调递增，且存在唯一x0∈0，5π6，使得f(x0)＝1，则ω的取值范围为()A.15，12B.25，12C.15，45D.25，45答案B解析由正弦函数性质，得2kπ－π2≤ωx＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，即2kπω－2π3ω≤x≤2kπω＋π3ω(k∈Z)，∵f(x)在－5π6，2π3上单调递增，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴－5π6≥2kπω－2π3ω，2π3≤2kπω＋π3ω(k∈Z)，则ω≤4－12k5，ω≤6k＋12(k∈Z)，又ω0，则0ω≤12，又存在唯一x0∈0，5π6，使得f(x0)＝1，而此时ωx0＋π6∈π6，5πω6＋π6，∴π2≤5