2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　必刷大题9　解三角形

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君必刷大题9解三角形1．(2023·郑州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2ccosC＝acosB－bcos(B＋C)．(1)求角C；(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsinB，求S.解(1)因为A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cosA，所以2ccosC＝acosB＋bcosA，由正弦定理得2sinCcosC＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)．因为sin(A＋B)＝sinC，所以2sinCcosC＝sinC.因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以cosC＝12，则C＝π3.(2)由S＝6bsinB，根据面积公式得6bsinB＝12acsinB＝3asinB，所以a＝2b.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，整理得a2＋b2－ab＝36，即3b2＝36，所以b＝23，a＝43.所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×43×23sinπ3＝63.2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，455a＝bsin2C＋2c(sinA－sinBcosC)．(1)求sinC的值；(2)在BC的延长线上有一点D，使得∠DAC＝π4，AD＝10，求AC，CD.解(1)在锐角△ABC中，455a＝bsin2C＋2c(sinA－sinBcosC)，由正弦定理得455sinA＝2sinBsinCcosC＋2sinC(sinA－sinBcosC)＝2sinAsinC，而sinA0，所以sinC＝255.(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)得cos∠ACB＝1－sin2∠ACB＝1－2552＝55，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君sin∠ADC＝sin∠ACB－π4＝22(sin∠ACB－cos∠ACB)＝22×255－55＝1010，在△ACD中，由正弦定理得CDsin∠DAC＝ADsinπ－∠ACB＝ACsin∠ADC，即CD22＝AC1010＝10255＝55，解得CD＝5102，AC＝522，所以CD＝5102，AC＝522.3．(2023·德州模拟)在①asinB＝bsinA－π3；②(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC；③3bsinB＋C2＝asinB三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________．(1)求角A；(2)若A的角平分线AD长为1，且b＋c＝6，求sinBsinC的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)选①：由asinB＝bsinA－π3得，sinAsinB＝sinBsinA－π3.即sinA＝sinA－π3，则A＝A－π3(舍)或A＋A－π3＝π，所以A＝2π3.选②：由(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC得，(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，又A∈(0，π)，所以A＝2π3.选③：由3bsinB＋C2＝asinB得，3sinB＋C2＝sinA，即3cosA2＝2sinA2cosA2，因为cosA2≠0，所以sinA2＝32，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又A∈(0，π)，所以A＝2π3.(2)由S△ABD＋S△ADC＝S△ABC得，34(b＋c)＝34bc，即bc＝b＋c＝6，在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30，解得a＝30，由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝2R＝210，即R＝10，所以sinBsinC＝bc4R2＝640＝320.所以sinBsinC的值为320.4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足bcosC＋3bsinC－a－c＝0.(1)求B；(2)若b＝2，求锐角△ABC的周长l的取值范围．解(1)由bcosC＋3bsinC－a－c＝0，可得sinBcosC＋3sinBsinC－sinA－sinC＝0⇒sinBcosC＋3sinBsinC－sin(B＋C)－sinC＝0⇒sinBcosC＋3sinBsinC－sinBcosC－cosBsinC－sinC＝0⇒3sinBsinC－cosBsinC－sinC＝0⇒3sinB－cosB＝1⇒sinB－π6＝12，因为B∈0，π2，所以B＝π3.(2)因为B＝π3，b＝2，利用正弦定理得asinA＝csinC＝bsinB＝2sinπ3＝433，所以a＝433sinA，c＝433sinC，所以l＝a＋b＋c＝2＋433(sinA＋sinC)，所以l＝2＋433sinA＋sinA＋π3公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝2＋4sinA＋π6，因为△ABC是锐角三角形，所以0Aπ2，A＋B＝A＋π3π2，所以π6Aπ2，π3A＋π62π3，所以sinA＋π6∈32，1，所以2＋232＋4sinA＋π6≤6，所以△ABC的周长l的取值范围为(2＋23，6]．5.(2022·沈阳模拟)如图，某水域的两条直线型岸边l1，l2的夹角为60°，某渔民准备安装一直线型隔离网BC(B，C分别在l1，l2上)，围出养殖区△ABC.(1)若BC＝6km，求养殖区△ABC的面积(单位：km2)的最大值；(2)若△ABC是锐角三角形，且AB＝4km，求养殖区△ABC面积(单位：km2)的取值范围．解(1)由题意可知∠BAC＝60°，BC＝6.在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即AB2＋AC2－AB·AC＝36.因为AB2＋AC2≥2AB·AC，当且仅当AB＝AC＝6时等号成立，所以AB2＋AC2－AB·AC≥AB·AC，即AB·AC≤36.故△ABC的面积S＝12AB·ACsin∠BAC≤12×36×32＝93.即养殖区△ABC面积的最大值为93km2.(2)因为AB＝4，∠BAC＝60°，所以△ABC的面积S＝12AB·ACsin∠BAC＝3AC.在△ABC中，由正弦定理可得ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，则AC＝ABsin∠ABCsin∠ACB＝4sin120°－∠ACBsin∠ACB＝23tan∠ACB＋2.因为△ABC是锐角三角形，所以0°120°－∠ACB90°，0°∠ACB90°，所以30°∠ACB90°，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以tan∠ACB33，所以01tan∠ACB3，则223tan∠ACB＋28，即2AC8.故S＝3AC∈(23，83)，即△ABC面积的取值范围是(23，83)．6．(2023·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.(1)求角A的大小；(2)若a＝1时b＋λc存在最大值，求正数λ的取值范围．解(1)已知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋c2－a2＝－bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12.又A∈(0，π)，所以A＝2π3.(2)由正弦定理bsinB＝csinC＝asinA＝233，得b＋λc＝233(sinB＋λsinC)＝233[sin(A＋C)＋λsinC]＝23332cosC＋λ－12sinC＝23334＋λ－122sin(C＋φ)，φ∈0，π2，其中tanφ＝32λ－12＝32λ－1.因为C∈0，π3，要使b＋λc存在最大值，即C＋φ＝π2有解，所以φ∈π6，π2，从而32λ－133，即02λ－13，所以正数λ的取值范围为12，2.