2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　必刷小题7　三角函数

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君必刷小题7三角函数一、单项选择题1．(2023·杭州模拟)设α是第三象限角，且cosα2＝－cosα2，则α2的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析因为α是第三象限角，所以π＋2kπα3π2＋2kπ，k∈Z，所以π2＋kπα23π4＋kπ，k∈Z，则α2是第二或第四象限角，又cosα2＝－cosα2，即cosα20，所以α2是第二象限角．2．(2022·天津模拟)已知扇形的周长为15cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm答案C解析设扇形弧长为lcm，半径为rcm，则lr＝3，即l＝3r且l＋2r＝15，解得l＝9，故此扇形的弧长为9cm.3．(2023·合肥模拟)已知角α的终边经过点(－1，m)，且sinα＝－35，则tanα等于()A．±34B.34C．－34D.43答案B解析因为角α的终边经过点(－1，m)，且sinα＝－35，所以m1＋m2＝－35，所以m21＋m2＝925，且m0，解得m＝－34，所以tanα＝m－1＝－m＝34.4．(2023·济南模拟)已知α∈－π2，0，且cos2α＋sin2α＝710，则cos2α1＋sin2α等于()A.1126B.4936C.14D.136答案B解析cos2α＋sin2α＝710，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君即cos2α＋2sinαcosαcos2α＋sin2α＝710，即1＋2tanα1＋tan2α＝710，所以7tan2α－20tanα－3＝0，即(7tanα＋1)(tanα－3)＝0，所以tanα＝－17或tanα＝3，又α∈－π2，0，所以tanα＝－17，所以cos2α1＋sin2α＝cos2αcos2α＋sin2α＋2sinαcosα＝11＋tan2α＋2tanα＝11＋149－27＝4936.5．(2023·沈阳模拟)函数f(x)＝|sinx＋cosx|的最小正周期是()A.π4B.π2C．πD．2π答案C解析f(x)＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋π4，函数图象是将g(x)＝2sinx＋π4的图象在x轴下方的部分向上翻折形成的，如图所示，根据图象知函数f(x)的最小正周期为π.6．(2022·扬州模拟)已知sinα＋π3＋3sinα－π6＝1，则cos2α等于()A．－32B.12C.22D.32答案B解析由题意可知，12sinα＋32cosα＋332sinα－12cosα＝1，即2sinα＝1，解得sinα＝12，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×122＝12.7．(2023·吉林质检)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．若x1≠x2，且g(x1)g(x2)＝2，则|x1－x2|的最小值为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A.π2B．πC．2πD．4π答案B解析由题设知f(x)＝2sinx＋π4，故y＝g(x)＝2sin2x＋π4，要使x1≠x2且g(x1)g(x2)＝2，则g(x1)＝g(x2)＝2或g(x1)＝g(x2)＝－2，∴|x1－x2|的最小值为1个周期长度，则|x1－x2|min＝2π2＝π.8．(2023·玉林模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2，其图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离分别为π3和2π3，若将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度得到的函数g(x)为奇函数，则φ的值为()A.π6B．－π6C.π3D．－π3答案B解析由f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离分别为π3和2π3，即可知其周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度得到的函数g(x)＝2sin2x＋π6＋φ，又g(x)为奇函数，所以π6＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－π6(k∈Z)，又|φ|π2，则φ＝－π6.二、多项选择题9.(2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝3sin2x－2cos2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是周期为π的奇函数B．f(x)的图象关于点π12，1对称C．f(x)在5π6，4π3上单调递增D．f(x)的值域是[－3,1]答案CD解析由题意可得f(x)＝3sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π6－1.因为f(－x)＝2sin－2x－π6－1＝－2sin2x＋π6－1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，故A错误；因为fπ12＝2sin2×π12－π6－1＝－1，所以f(x)的图象不关于点π12，1对称，故B错误；令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，当k＝1时，5π6≤x≤4π3，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君故C正确；因为－1≤sin2x－π6≤1，所以－2≤2sin2x－π6≤2，所以－3≤2sin2x－π6－1≤1，即f(x)的值域是[－3,1]，故D正确．10．(2022·武汉模拟)先将函数f(x)＝2sinx的图象向右平移π6个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)的图象，则关于函数g(x)，下列说法正确的是()A．在π6，5π12上单调递增B．当x∈π2，π时，函数g(x)的值域是[－2,1]C．其图象关于直线x＝5π6对称D．最小正周期为π，其图象关于点π3，0对称答案BC解析由题可得g(x)＝2sin2x－π6，当x∈π6，5π12时，2x－π6∈π6，2π3，故函数g(x)在π6，5π12上不单调，故A错误；当x∈π2，π时，2x－π6∈5π6，11π6，sin2x－π6∈－1，12，g(x)＝2sin2x－π6∈[－2,1]，故B正确；当x＝5π6时，2x－π6＝3π2，故函数g(x)的图象关于直线x＝5π6对称，故C正确；由g(x)＝2sin2x－π6可知，最小正周期为π，又x＝π3，2x－π6＝π2，故函数g(x)的图象不关于点π3，0对称，故D错误．11．(2023·九江模拟)将函数y＝sin2x＋2π3的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度后得到的图象关于直线x＝π4对称(φ0向左移动，φ0向右移动)，φ可取的值为()A.π3B．－π12C.π6D．－π3答案CD解析由题意，将函数y＝sin2x＋2π3的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度后得到y＝sin2x＋φ＋2π3＝sin2x＋2φ＋2π3，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则y＝sin2x＋2φ＋2π3的图象关于直线x＝π4对称．所以2×π4＋2φ＋2π3＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ2－π3，k∈Z，当k＝0时，φ＝－π3，当k＝1时，φ＝π6.12．(2023·长沙模拟)将函数f(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x＋φ)0φπ2的图象(g(x)的部分图象如图所示)．对于∀x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2若g(x1)＝g(x2)，都有g(x1＋x2)＝32成立，则下列结论正确的是()A．g(x)＝sin2x＋π3B．f(x)＝sin4x－π3C．g(x)在π，3π2上单调递增D．函数f(x)在0，4π3上的零点为x1，x2，…，xn，则x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn＝85π12答案ABD解析对于A，由题意可知函数g(x)＝sin(2x＋φ)0φπ2的图象在区间[a，b]上的对称轴为直线x＝x1＋x22，又g(x1＋x2)＝32，所以g(0)＝g(x1＋x2)＝32，所以sinφ＝32，又因为0φπ2，所以φ＝π3，故g(x)＝sin2x＋π3，故A正确；对于B，g(x)＝sin2x＋π3向右平移π3个单位长度得到函数y＝sin2x－π3的图象，再将其横坐标缩短为原来的12得到f(x)＝sin4x－π3的图象，故B正确；对于C，令－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z，当k＝1时，7π12≤x≤13π12，所以g(x)在7π12，13π12上单调递增，而π，3π2⊈7π12，13π12，故C错误；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君对于D，令t＝4x－π3，则t∈－π3，5π，函数y＝sint在－π3，5π上有6个零点t1，t2，…，t6，则t1＋t2＝π，t2＋t3＝3π，t3＋t4＝5π，t4＋t5＝7π，t5＋t6＝9π，故t1＋2t2＋2t3＋2t4＋2t5＋t6＝4(x1＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6)－10×π3＝25π，所以x1＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6＝85π12，故D正确．三、填空题13．若f(x)＝2sin(x＋φ)－sinx为偶函数，则φ＝________.(填写符合要求的一个值)答案π3(填写符合φ＝2kπ±π3，k∈Z的一个值即可)解析f(x)＝2sin(x＋φ)－sinx＝2sinxcosφ＋2cosx·sinφ－sinx＝2sinφcosx＋(2cosφ－1)sinx，当2cosφ－1＝0时，f(x)为偶函数，此时cosφ＝12，则φ＝2kπ±π3，k∈Z，填写符合φ＝2kπ±π3，k∈Z的一个值即可．14．(2023·焦作模拟)计算：2cos50°－tan40°2＝________.答案32解析2cos50°－tan40°2＝2sin40°－sin40°2cos40°＝4sin40°cos40°－sin40°2cos40°＝2sin80°－sin40°2cos40°＝2cos10°－sin40°2cos40°＝2cos40°－30°－sin40°2cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°2cos40°＝32.15．(2022·北京)若函数f(x)＝Asinx－3cosx的一个零点为π3，则A＝________；fπ12＝________.答案1－2解析依题意得fπ3＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f(x)＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，所以fπ12＝2sinπ12－π3＝2sin－π4＝－2.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君16．(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝(a＋bcosx)sinx，在①②中任选一个作为已知条件，再从③④⑤中选出在这个条件下成立的所有结论，则你所选的编号为________．(写出一组符合要求的答案即可)①a＝1，b＝1；②a＝1，b＝－1；③f(x)在0，π2上为单调函数；④f(x)的图象关于点(π，0)对称；⑤f(x)在x＝5π3处取得最小值－334.答案①④⑤或②③④解析若选①，f(x)＝(1＋cosx)sinx，则f′(x)＝2cos2x＋cosx－1＝(2cosx－1)(cosx＋1)，令f′(x)0，解得cosx12；令f′(x)0，解得cosx12，所以f(x)在－π3＋2kπ，π3＋2kπ，k∈Z上单调递增，在π3＋2kπ，5π3＋2kπ，k∈Z上单调递减，显然f(x)在0，π2上不单调，③不正确；显然f(x)的一个周期是2π，所以当x＝5π3时，f(x)取得最小值f5π3＝－334，⑤正确；因为f(2π－x)＝[1＋cos(2π－x)]sin(2π－x)＝－(1