2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§5.2平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.常用结论已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为x1＋x22，y1＋y22；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(×)(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0.(√)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.(×)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)教材改编题1．下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)答案D解析由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底．而选项D中的向量e1，e2不共线，故可作为基底．2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为()A．(2,2)B．(3，－1)C．(2,2)或(3，－1)D．(2,2)或(3,1)答案A解析设P(x，y)，由题意知P1P—→＝13P1P2—→，∴(x－1，y－3)＝13(4－1,0－3)＝(1，－1)，即x－1＝1，y－3＝－1，∴x＝2，y＝2.3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是()A．a－c与b共线B．b＋c与a共线C．a与b－c共线D．a＋b与c共线答案C解析a－c＝(4,2)，因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共线；b＋c＝(7,11)，因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共线；b－c＝(3,3)，因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共线；a＋b＝(11,13)，因为11×4－2×13＝18≠0，所以a＋b与c不共线.题型一平面向量基本定理的应用例1(1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE→＝2EO→，则ED→等于()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A.13AD→－23AB→B.23AD→＋13AB→C.23AD→－13AB→D.13AD→＋23AB→答案C解析因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，且AE→＝2EO→，所以EA→＝－13AC→，所以ED→＝EA→＋AD→＝－13AC→＋AD→＝－13(AD→＋AB→)＋AD→＝23AD→－13AB→.(2)(2023·天津模拟)已知在△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，若BP→＝xa＋yb，则x＋y＝________.答案－13解析因为D，F分别为BC，AC的中点，所以DF是△ABC的中位线，所以DFAB＝PDAP＝12，则BP→＝BA→＋AP→＝－AB→＋23AD→＝－AB→＋23×12(AB→＋AC→)＝－23a＋13b，所以x＝－23，y＝13，所以x＋y＝－13.思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．跟踪训练1(1)(多选)下列命题中正确的是()A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋ybC．若MP→＝xMA→＋yMB→，则P，M，A，B共面D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得MP→＝xMA→＋yMB→答案AC解析对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；对于D，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得MP→＝xMA→＋yMB→，故D错误；由平面向量基本定理知AC正确．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.答案6解析方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1—→＋OA1—→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1—→|＝2，|B1C—→|＝4，所以|OA1—→|＝|B1C—→|＝4，所以OC→＝4OA→＋2OB→，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B－12，32，C(3，3)．由OC→＝λOA→＋μOB→，得3＝λ－12μ，3＝32μ，解得λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知AB→＝(1，－1)，C(0,1)，若CD→＝2AB→，则点D的坐标为()A．(－2,3)B．(2，－3)C．(－2,1)D．(2，－1)答案D公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析设D(x，y)，则CD→＝(x，y－1)，2AB→＝(2，－2)，根据CD→＝2AB→，得(x，y－1)＝(2，－2)，即x＝2，y－1＝－2，解得x＝2，y＝－1，所以点D的坐标为(2，－1)．(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA→＝λCE→＋μDB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A.65B.85C．2D.83答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴CA→＝(－2,2)，CE→＝(－2,1)，DB→＝(1,2)，∵CA→＝λCE→＋μDB→，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.思维升华(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．跟踪训练2(1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且PN→＝－2PM→，则P点的坐标为()A．(2,4)B．(－14,16)C．(6,1)D．(22，－11)答案A解析设P(x，y)，则PN→＝(10－x，－2－y)，PM→＝(－2－x,7－y)，由PN→＝－2PM→⇒10－x＝－2－2－x，－2－y＝－27－y⇒x＝2，y＝4.(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{}a，b表示c，则()A．c＝2a－3bB．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2bD．c＝3a－2b答案D解析如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，则m－2n＝7，m＋3n＝－3⇒m＝3，n＝－2，所以c＝3a－2b.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求参数例3已知AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，BC→∥DA→，则x＋2y的值为()A．－1B．0C．1D．2答案B解析因为AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，所以AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(4＋x，y－2)，所以DA→＝(－x－4,2－y)，因为BC→∥DA→，所以x(2－y)＝y(－x－4)，所以2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.命题点2利用向量共线求向量或点的坐标例4设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB→|＝2|AP→|，则点P的坐标为()A．(3,1)B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1)D．(3,1)或(1,1)答案C解析∵A(2,0)，B(4,2)，∴AB→＝(2,2)，∵点P在直线AB上，且|AB→|＝2|AP→|，∴AB→＝2AP→或AB→＝－2AP→，故AP→＝(1,1)或AP→＝(－1，－1)，故P点坐标为(3,1)或(1，－1)．思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．跟踪训练3(1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为()A.23B.43C.74D.75答案B解析由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，∵(a＋2b)∥(a－b)，∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝43.(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝π3，若m＝(c－6，a－b)，n＝(a－b，c＋6)，且m∥n，则△ABC的面积为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．3B.932C.332D．33答案C解析∵m＝(c－6，a－b)，n＝(a－b，c＋6)，且m∥n，∴(a－b)2＝(c－6)(c＋6)，化为a2＋b2－c2＝2ab－6.∴cosπ3＝a2＋b2－c22ab＝2ab－62ab＝12，解得ab＝6.∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.课时精练1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1－2e2与－e1＋2e2答案D解析对A项，设e1＋e2＝λe1，则λ＝1，1＝0，无解，故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对B项，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则