2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6.1　数列的概念

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§6.1数列的概念考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{an}的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君3.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．常用结论1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1(n≥2，n∈N*)；若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1(n≥2，n∈N*)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列的项与项数是同一个概念．(×)(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．(√)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．(√)教材改编题1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是()A．21B．33C．152D．153答案ABD解析由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是()A．2B．4C．5D．6答案B解析由题意，S2＝22＋2＝6，S1＝1＋1＝2，所以a2＝S2－S1＝6－2＝4.3．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.答案34解析通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13＋21＝34.题型一由an与Sn的关系求通项公式例1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于()A．128B．256C．512D．1024答案B公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析∵Sn＋1＝2Sn－1，∴当n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，两式相减得an＋1＝2an.当n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，又a1＝2，∴a2＝1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10＝a2×28＝1×28＝256.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝________.答案5，n＝1，2n＋1，n≥2解析根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝5，n＝1，2n＋1，n≥2.思维升华Sn与an的关系问题的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．跟踪训练1(1)已知正项数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝nn＋12，则数列{an}的通项公式为()A．an＝nB．an＝n2C．an＝n2D．an＝n22答案B解析∵a1＋a2＋…＋an＝nn＋12，∴a1＋a2＋…＋an－1＝nn－12(n≥2)，两式相减得an＝nn＋12－nn－12＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①又当n＝1时，a1＝1×22＝1，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*.(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.答案－1n解析因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以1Sn－1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1.又1S1＝－1，所以数列1Sn是首项为－1，公差为－1的等公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君差数列．所以1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－1n.题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a2023等于()A．1B．2C．3D．4答案A解析由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2)．又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝nn＋12(n≥2)，当n＝1时，a1＝1满足上式，则1an＝2nn＋1＝21n－1n＋1.所以1a1＋1a2＋…＋1a2023＝2×1－12＋12－13＋…[phone]＝2×1－12024＝20231012.所以1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a2023＝20231012＝1.命题点2累乘法例3在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝1n解析∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，an－2＝n－3n－2an－3，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得，an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝1n.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思维升华(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．(2)形如an＋1an＝f(n)的数列，利用an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．跟踪训练2(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn答案A解析因为an＋1－an＝lnn＋1n＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝lnn－ln1，则an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也满足此式，因此an＝2＋lnn(n∈N*)．(2)已知数列a1，a2a1，…，anan－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log2an＝________.答案nn－12解析由题意知，a1＝1，anan－1＝1×2n－1＝2n－1(n≥2)，所以an＝anan－1×an－1an－2×…×a2a1×a1＝2n－1×2n－2×…×1＝122nn(n≥2)，当n＝1时，a1＝1适合此式，所以log2an＝nn－12.题型三数列的性质命题点1数列的单调性例4设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.答案n－6，n∈N*(答案不唯一)解析由∀n∈N*，an＋1an可知数列{an}是递增数列，又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正．而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*(答案不唯一)．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君命题点2数列的周期性例5若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an1－an，则a2024的值为()A．2B．－3C．－12D.13答案D解析由题意知，a1＝2，a2＝1＋21－2＝－3，a3＝1－31＋3＝－12，a4＝1－121＋12＝13，a5＝1＋131－13＝2，a6＝1＋21－2＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2024＝a505×4＋4＝a4＝13.命题点3数列的最值例6已知数列{an}的通项公式为an＝12n－15，其最大项和最小项的值分别为()A．1，－17B．0，－17C.17，－17D．1，－111答案A解析因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝12n－150，且单调递减；当n≥4时，an＝12n－150，且单调递减，所以最小项为a3＝18－15＝－17，最大项为a4＝116－15＝1.思维升华(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．跟踪训练3(1)观察数列1，ln2，sin3,4，ln5，sin6,7，ln8，sin9，…，则该数列的第11项是()A．1111B．11C．ln11D．sin11答案C解析由数列得出规律，按照1，ln2，sin3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln11.(2)已知数列{an}的通项an＝2n－192n－21，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________．答案3，－1解析an＝2n－192n－21＝2n－21＋22n－21＝1＋22n－21，当n≥11时，22n－210，且单调递减；当1≤n≤10公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君时，22n－210，且单调递减．因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项．a11＝3，a10＝－1.课时精练1．已知an＝n－1n＋1，那么数列{an}是()A．递减数列B．递增数列C．常数列D．摆动数列答案B解析an＝1－2n＋1，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知数列{an}是递增数列．2．已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于()A．128B．16C．32D．64答案D解析因为数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，a1＝2，所以Sn＋1＝2Sn，即Sn＋1Sn＝2，所以数列{Sn}是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以Sn＝2×2n－1＝2n.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.所以a7＝26＝64.3．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an等于()A.n2－n2B.n2－n＋22C.2n2－nD.2n2－n＋2答案D解析由题意，得1an＋1－1an＝n，则当n≥2时，1an－1an－1＝n－1，1an－1－1an－2＝n－2，…，1a2－1a1＝1，所以1an－1a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝n2－n2(n≥2)，所以1an＝n2－n2＋1＝n2－n＋22，即an＝2n2－n＋2(n≥2)，当n＝1时，a1＝1适合此式，所以an＝2n2－n＋2.4．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－1an，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2024等于()A．－2B．－1C．1D．2答案C解析a1＝2，an＋1＝1－1an，得a2＝12，a3＝－1，a4＝2，a5＝12，…，所以数列{an}是周期为3公众