2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6.2　等差数列

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§6.2等差数列考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12d或Sn＝na1＋an2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，Snn为等差数列．常用结论1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(×)(4)若无穷等差数列{an}的公差d0，则其前n项和Sn不存在最大值．(√)教材改编题1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于()A．－2B．－1C．1D．2答案C解析设等差数列{an}的公差为d，由题意得11＝a1＋4d，5＝a1＋7d，解得a1＝19，d＝－2.∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于()A．12B．8C．20D．16答案D解析等差数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8仍为等差数列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________．答案30解析由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋nn－12d＝－n2＋11n.当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.题型一等差数列基本量的运算例1(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，a25＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于()A．10B．11C．12D．13答案D解析由题意知(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)，na1＋nn－12＝0，解得a1＝－6，n＝13.(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块答案C解析设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋27×262×9＝3402(块)．思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸答案B解析由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，∴a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝315，S9＝9a1＋9×82d＝855，解得a1＝135，d＝－10，∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)数列2an＋1是等差数列，且a1＝1，a3＝－13，那么a2024＝________.答案－10111012解析设等差数列2an＋1的公差为d，因为a1＝1，a3＝－13，所以2a1＋1＝1，2a3＋1＝3.所以3＝1＋2d，解得d＝1.所以2an＋1＝1＋n－1＝n，所以an＝2n－1.所以a2024＝22024－1＝－20222024＝－10111012.题型二等差数列的判定与证明例2(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{Sn}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋nn－12d＝n2a1.因为数列{an}的各项均为正数，所以Sn＝na1，所以Sn＋1－Sn＝(n＋1)a1－na1＝a1(常数)，所以数列{Sn}是等差数列．①②⇒③.已知{an}是等差数列，{Sn}是等差数列．设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋nn－12d＝12n2d＋a1－d2n.因为数列{Sn}是等差数列，所以数列{Sn}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{Sn}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{Sn}的公差为d，d0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以Sn＝S1＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列．思维升华判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n项和公式法．跟踪训练2已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b2n＋1－b2n，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)若a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．(1)证明由题意得b2n＝anan＋1，则cn＝b2n＋1－b2n＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)，∴{cn}是等差数列．(2)解当n＝1时，a31＝a21，∵a10，∴a1＝1.a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，①当n≥2时，a31＋a32＋a33＋…＋a3n－1＝S2n－1，②①－②得，a3n＝S2n－S2n－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．∵an0，∴a2n＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③∵a1＝1也符合上式，∴当n≥2时，a2n－1＝2Sn－1－an－1，④③－④得a2n－a2n－1＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，∵an＋an－10，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.题型三等差数列的性质命题点1等差数列项的性质例3(1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且log2(1211222aaa…)＝22，则S13等于()A．40B．65C．80D．40＋log25答案B解析log2(1211222aaa…)＝log212a＋log222a＋…＋log2112a＝a1＋a2＋…＋a11＝11a6＝22，所以a6＝2，则S13＝13a1＋a132＝13a6＋a82＝65.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2024－b2024的值为________．答案4051解析令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2024－b2024＝c2024＝5＋2023×2＝4051.思维升华等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2相结合．跟踪训练3(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于()A．2B．3C．4D．5答案A解析∵S15＝30，∴152(a1＋a15)＝30，∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足a8a5＝－2，则下列结论一定成立的是()A.a9a4＝－1B.a8a3＝－1C.a9a3＝－1D.a10a4＝－1答案C解析由a8a5＝－2得a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，因为a5≠0，a6＝0，所以a3≠0，a9a3＝－1.命题点2等差数列前n项和的性质例4(1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有SnTn＝2n－34n－3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为()A.2945B.1329C.919D.1930答案C公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261