2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6.6　数列中的综合问题

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§6.6数列中的综合问题考试要求数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等．题型一等差数列、等比数列的综合运算例1(2023·厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝32n2＋12n，递增的等比数列{bn}满足b1＋b4＝18，b2·b3＝32.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝an·bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n2＋12n－32n－12＋12n－1＝3n－1，又∵当n＝1时，a1＝S1＝2符合上式，∴an＝3n－1.∵b2b3＝b1b4，∴b1，b4是方程x2－18x＋32＝0的两根，又∵b4b1，∴解得b1＝2，b4＝16，∴q3＝b4b1＝8，∴q＝2，∴bn＝b1·qn－1＝2n.(2)∵an＝3n－1，bn＝2n，则cn＝(3n－1)·2n，∴Tn＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n－1)·2n，2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n－1)·2n＋1，将两式相减得－Tn＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1＝4＋3221－2n－11－2－(3n－1)·2n＋1＝(4－3n)·2n＋1－8，∴Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8.思维升华数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君跟踪训练1(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知2Snn＋n＝2an＋1.(1)证明：{an}是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．(1)证明由2Snn＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n，①所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化简得an＋1－an＝1，所以数列{an}是公差为1的等差数列．(2)解由(1)知数列{an}的公差为1.由a4，a7，a9成等比数列，得a27＝a4a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.所以Sn＝－12n＋nn－12＝n2－25n2＝12n－2522－6258，所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78.题型二数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇例2(1)已知数列{an}满足a1＋12a2＋13a3＋…＋1nan＝n2＋n(n∈N*)，设数列{bn}满足：bn＝2n＋1anan＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tnnn＋1λ(n∈N*)恒成立，则实数λ的取值范围为()A.14，＋∞B.14，＋∞C.38，＋∞D.38，＋∞答案D解析数列{an}满足a1＋12a2＋13a3＋…＋1nan＝n2＋n，①当n≥2时，a1＋12a2＋13a3＋…＋1n－1an－1＝(n－1)2＋(n－1)，②①－②得1nan＝2n，故an＝2n2，当n＝1时，a1＝2也满足上式．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君数列{bn}满足：bn＝2n＋1anan＋1＝2n＋14n2n＋12＝141n2－1n＋12，则Tn＝141－122＋122－132＋…＋1n2－1n＋12＝141－1n＋12，由于Tnnn＋1λ(n∈N*)恒成立，故141－1n＋12nn＋1λ，整理得λn＋24n＋4，因为y＝n＋24n＋4＝141＋1n＋1在n∈N*上单调递减，故当n＝1时，n＋24n＋4max＝38，所以λ38.(2)已知数列{an}满足a1＝37，3an,2an＋1，anan＋1成等差数列．①证明：数列1an－1是等比数列，并求{an}的通项公式；②记{an}的前n项和为Sn，求证：1271－34n≤Sn7528.①解由已知得4an＋1＝3an＋anan＋1，因为a1＝37≠0，所以由递推关系可得an≠0恒成立，所以4an＝3an＋1＋1，所以4an－4＝3an＋1－3，即1an＋1－1＝431an－1.又因为1a1－1＝73－1＝43，所以数列1an－1是首项为43，公比为43的等比数列，所以1an－1＝43n，所以an＝11＋43n.②证明由①可得an＝11＋43n≥143n－1＋43n＝37×34n－1，所以Sn≥37＋37×341＋…＋37×34n－1＝1271－34n，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君an＝11＋43n143n＝34n，S1＝377528，当n≥2时，Sn37＋342＋…＋34n＝37＋3421－34n－11－34＝7528－3×34n7528.综上所述，1271－34n≤Sn7528成立．命题点2数列与函数的交汇例3(1)(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝13x3＋4x，记等差数列{an}的前n项和为Sn，若f(a1＋2)＝100，f(a2022＋2)＝－100，则S2022等于()A．－4044B．－2022C．2022D．4044答案A解析因为f(－x)＝－13x3－4x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，因为f(a1＋2)＝100，f(a2022＋2)＝－100，所以f(a1＋2)＝－f(a2022＋2)，所以a1＋2＋a2022＋2＝0，所以a1＋a2022＝－4，所以S2022＝2022a1＋a20222＝－4044.(2)数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为________．答案－12解析因为a4＋λa10＋a16＝15,所以a1＋3d＋λ(a1＋9d)＋a1＋15d＝15，令λ＝f(d)＝151＋9d－2，因为d∈[1,2]，所以令t＝1＋9d，t∈[10,19]，因此λ＝f(t)＝15t－2，当t∈[10,19]时，函数λ＝f(t)是减函数，故当t＝10时，实数λ有最大值，最大值为f(10)＝－12.思维升华(1)数列与不等式的综合问题及求解策略①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君求和方法等对式子化简变形．跟踪训练2(1)设{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2023的两个零点是a2，a3，则a1a4等于()A．2023B．1C．－1D．－2023答案D解析由题意a2，a3是x2－x－2023＝0的两根．由根与系数的关系得a2a3＝－2023.又a1a4＝a2a3，所以a1a4＝－2023.(2)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.①求数列{an}，{bn}的通项公式；②设cn＝1bn·log2a2n＋2，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：13≤Tn12.①解由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝a1·2n－1＝2n－1.所以Sn＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，所以d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.②证明因为log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，所以cn＝1bn·log2a2n＋2＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，所以Tn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1.因为n∈N*，所以Tn＝121－12n＋112，121－12n＋1＝n2n＋1.当n≥2时，Tn－Tn－1＝n2n＋1－n－12n－1＝12n＋12n－10，所以数列{Tn}是一个递增数列，所以Tn≥T1＝13.综上所述，13≤Tn12.课时精练1．(2022·汕头模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,4a1,2a3，a5成等差数列，则a1等于()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．52－5B．52＋5C．52D．5答案A解析设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，q0，由前4项和为15,4a1,2a3，a5成等差数列，可得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，4a3＝4a1＋a5，即4a1＋a1q4＝4a1q2，即q2－2＝0，解得q＝2，a1＝52－5.2．(2023·焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过____年其投入资金开始超过7000万元()(参考数据：lg1.12≈0.049，lg2≈0.301，lg7≈0.845)A．14B．13C．12D．11答案C解析设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2000×1.12，由题意可知，数列{an}是以2000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以an＝2000×1.12n，由an＝2000×1.12n7000可得nlog1.1272＝lg7－lg2lg1.12≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7000万元．3．在正项等比数列{an}中，3为a6与a14的等比中项，则a3＋3a17的最小值为()A．23B．89C．6D．3答案C解析因为{an}是正项等比数列，且3为a6与a14的等比中项，所以a6a14＝3＝a3a17，则a3＋3a17＝a3＋3·3a3≥2a3·3·3a3＝6，当且仅当a3＝3时，等号成立，所以a3＋3a17的最小值为6.4．(2023·岳阳模拟)在等比数列{an}中，a2＝－2a5,1a32，则数列{a3n}的前5项和S5的取值范围是()A.1116，118B.3316，338C.－118，－1116D.－338，－3316答案A解析设等比数列{an}的公比为q，则q3＝a5a2＝－12，数列{a3n}是首项为a3，公比为q3＝－12的等比数列，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则S5＝a31－－1251＋12＝1116a3∈1116，118.5．(多选)(2023·贵阳模拟)已知函数f(x)＝lgx，则下列四个命题中，是真命题的为()A．f(2)，f(10)，f(5)成等差数列B．f(2)，f(4)，f(8)成等差数列C．f(2)，f(12)，f(72)成等比数列D．f(2)，f(4)，f(16)成等比数列答案ABD解析对于A，f(2)＋f(5)＝lg2＋lg5＝lg10＝1，2f(10)＝2lg10＝1，故f(2)，f(10)，f(5)成等差数列，故是真命题；对于B，f(2)＋f(8)＝lg2＋lg8＝lg16,2f(4)＝2lg4＝lg16，故f(2)，f(4)，f(8)成等差数列，故是真