2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　§7.2　球的切、接问题[培优课]

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§7.2球的切、接问题球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现．一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心．题型一定义法例1(1)(2023·宣城模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝22，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是()A．14πB．16πC．18πD．20π答案D解析在△BAC中，∠BAC＝45°，AB＝22，AC＝4，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos45°＝8＋16－2×4×22×22＝8，则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，又△PAC为直角三角形，所以PC是三棱锥P－ABC外接球直径，设O是PC的中点，即为球心，又AC＝4，PA＝2，所以PC＝AC2＋PA2＝42＋22＝25，所以外接球半径为5，所以所求外接球的表面积S＝4π×(5)2＝20π.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100πB．128πC．144πD．192π公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33＝3，23×32×43＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO21＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO22＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.综上，该球的表面积为100π.思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．跟踪训练1已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310答案C解析由题意作图如图，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5，又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，∴球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.题型二补形法例2(1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A.23B．43C．26D.6答案C解析因为在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，所以折起后OD，OE，OF两两互相垂直，故该三棱锥的外接球，即以OD，OE，OF为棱的长方体的外接球．设正方形ABCD的边长为2，则OD＝2，OE＝1，OF＝1，故2R＝OD2＋OE2＋OF2＝6，则R＝62.设内切球球心为I，由VO－DEF＝13·S△OEF·OD＝13，三棱锥O－DEF的表面积S＝4，VO－DEF＝VI－ODE＋VI－ODF＋VI－OEF＋VI－DEF＝13Sr，所以r＝14，则有Rr＝26.(2)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．答案136π解析如图，添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF－BCE，因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以S△BCE＝12CE×BC＝12×1×1＝12，直三棱柱ADF－BCE的体积V＝S△BCE·AB＝12×2＝1，添加的三棱锥的体积为13V＝13.方法一如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O，因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，AO即为球的半径，因为AM＝12AF＝22，MO＝1，所以AO2＝AM2＋MO2＝12＋1＝32，所以外接球的表面积为4π·AO2＝6π.方法二因为CE，CB，CD两两垂直，故将直三棱柱ADF－BCE补成长方体，设外接球的半径为R，则4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π.思维升华(1)补形法的解题策略①侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解．(2)正方体与球的切、接问题的常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.跟踪训练2(1)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为22，32，62，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A.6πB．26πC．36πD．46π答案A解析在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径．设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，由题意得ab＝6，ac＝3，bc＝2，解得a＝3，b＝2，c＝1，所以球的直径为32＋22＋1＝6，它的半径为62，球的体积为4π3×623＝6π.(2)(2023·焦作模拟)已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝32，PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．答案34π解析根据题意，三棱锥P－ABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，如图所示，则a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.所以该三棱锥的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22＝32＋32＋422＝342，所以该三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×3422＝34π.题型三截面法例3(1)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为()A．12πB．16πC．20πD．32π答案B解析如图，连接AC，BD，AC∩BD＝G，取AD的中点E，连接PE.∵四边形ABCD为矩形，∴G为四边形ABCD的外接圆圆心；在线段PE上取ME＝13PE，∵△PAD为等边三角形，∴M为△PAD外接圆圆心，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君过G，M分别作平面ABCD和平面PAD的垂线，则两垂线的交点即为球O的球心O，连接OP，∵△PAD为等边三角形，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE∥OG；同理可得，OM∥EG，∴四边形OMEG为矩形；∴OM＝EG＝12AB＝1，PM＝23PE＝23×9－94＝3，∴OP＝OM2＋PM2＝2，即球O的半径R＝2，∴球O的表面积S＝4πR2＝16π.(2)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()A.32π3，4B.9π2，3C．6π，4D.32π3，3答案D解析依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大．易知AC＝AB2＋BC2＝10，设健身手球的半径为R，则12×(6＋8＋10)×R＝12×6×8，解得R＝2.则健身手球的最大直径为4.因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球．于是一个健身手球的最大体积V＝43πR3＝43π×23＝32π3.思维升华(1)与球截面有关的解题策略①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．(2)正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径之比R∶r＝3∶1(a为该公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君正四面体的棱长)．跟踪训练3(1)(2022·淮北模拟)半球内放三个半径为3的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是()A．1＋3B.3＋5C.5＋7D.3＋7答案D解析三个小球的球心O1，O2，O3构成边长为23的正三角形，则其外接圆半径为2.设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A.如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B.则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，由(R－3)2＝22＋(3)2可得R＝3＋7.(2)(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为()A．3πB．4πC．9πD．12π答案B解析如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，设球的半径为R，则4πR33＝32π3，可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因为CD⊥AB，AB为球的直径，所以△ACD∽△CBD，所以ADCD＝CDBD，所以CD＝AD·BD＝3，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君因此，这两个圆锥的体积之和为13π×CD2·(AD＋BD)＝13π×3×4＝4π.课时精练1．(2023·岳阳模拟)已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为()A.823πB．43πC．8πD．12π答案B解析因为正方体的体对角线等于外接球的直径，且正方体的棱长为2，故该球的直径2R＝22＋22＋22＝23.所以R＝3.故该球的体积V＝43πR3＝43π.2．已知在三棱锥P－ABC中，AC＝2，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为()A.4π3B．4πC.32π3D．43π答案A解析AB＝AC2＋BC2＝3，设PB＝h，则由PA＝2PB，可得3＋h2＝2h，解得h＝1，可将三棱锥P－ABC还原成如图所示的长方体，则三棱锥P－ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R＝12＋22＋12＝2，R＝1，所以其外接球的体积V＝4π3R3＝4π3.3．(多选)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝23，点D为AB的中点，过点D作球O的截面，则截面的面积可以是()A.π2B．πC．9πD．13π答案BCD解析三棱锥P－ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，∴2R＝62＋22＋232＝213，∴R＝13，取BC的中点O1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴O1为△ABC的外