2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系共面直线相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个5.等角定理公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：0，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)两两相交的三条直线共面．(×)教材改编题1．(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是()A．BM与ED平行B．CN与BM成60°角C．CN与BE是异面直线D．DM与BN是异面直线答案BD解析正方体的直观图如图所示．很显然，BM与ED不平行，故A错误；连接AN，AC，易知△ACN是等边三角形，CN与BM所成角即为∠ANC＝60°，故B正确；连接BE，易知CN∥BE，故C错误；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君连接BN，DM，易知DM与BN是异面直线，故D正确．2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案C解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)由题意知，EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.题型一基本事实的应用例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明(1)如图所示，连接B1D1.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1(1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M答案D解析因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以γ与β的交线必经过点C和点M.(2)如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥AF且BE＝12AF，G，H分别为FA，FD的中点．①证明：四边形BCHG是平行四边形；②C，D，F，E四点是否共面？为什么？①证明由题设知，因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GH∥AD且GH＝12AD，又BC∥AD且BC＝12AD，故GH∥BC且GH＝BC，所以四边形BCHG是平行四边形．②解C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE∥AF且BE＝12AF，G是FA的中点知BE∥GF且BE＝GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG.由①知BG∥CH，所以EF∥CH.故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．题型二空间位置关系的判断命题点1空间位置关系的判断例2(1)(多选)下列推断中，正确的是()A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案ABD解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确．(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案D解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面．命题点2异面直线所成的角例3(1)如图所示，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.33535B.43535C.3714D.277答案C解析连接AO2，设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E，连接CE，易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，连接CD(图略)，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BD＝2，∠CBD＝30°，得BC＝3，CD＝1.又AB＝DE＝AE＝BD＝2，AC＝AB2＋BC2＝7，CE＝DC2＋DE2＝5，所以在△CAE中，cos∠CAE＝AC2＋AE2－CE22AC·AE＝7＋4－52×7×2＝3714，即异面直线AC与BD所成角的余弦值为3714.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)(2023·长治模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E为BB1上一点，平面AEC1将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AE与B1C1所成角的余弦值为()A.23B.25C.35D.13答案A解析如图，作C1H⊥A1B1于点H，则C1H⊥平面ABB1A1且C1H＝2，设B1E＝x，则111CAAEBV－＝1311AAEBS边四形·C1H＝13·12·(2＋x)·22·2＝23(2＋x)，易得AC⊥平面BB1C1C，则1ABCCEV－＝13·1BCCES边四形·AC＝13·12·(2－x＋2)·2·2＝23(4－x)，平面AEC1将三棱柱分为两个体积相等的四棱锥C1－A1AEB1和A－BCC1E，即111CAAEBV－＝1ABCCEV－，则x＝1，所以E为BB1的中点，取CC1中点为F，连接EF，则EF∥B1C1，∠AEF(或其补角)即为异面直线AE与B1C1所成角，cos∠AEF＝EFAE＝23.所以异面直线AE与B1C1所成角的余弦值为23.思维升华(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)求异面直线所成角的方法公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解跟踪训练2(1)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线答案CD解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．(2)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝14SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为()A.222B.53C.1316D.113答案D解析如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∵SE＝14SB，∴SE＝13BE.又OB＝3，∴OF＝13OB＝1.∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴SC＝32.∵SO⊥OF，∴SF＝SO2＋OF2＝10.∵OC⊥OF，∴CF＝10.∴在等腰△SCF中，tan∠CSF＝102－3222322＝113.即异面直线SC与OE所成角的正切值为113.(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A解析如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD－A1B1C1D1相同棱长的