2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.10　圆锥曲线中求值与证明问题

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.10圆锥曲线中求值与证明问题题型一求值问题例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：x2a2－y2a2－1＝1(a1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0](2)若tan∠PAQ＝22，求△PAQ的面积．[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思维升华求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．跟踪训练1在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点1，22，焦距与长轴之比为22，A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(1)求椭圆C的方程；(2)若点P在直线x－y＋2＝0上，且BP→＝3BM→，求△PMA的面积；(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求OD→·OP→的值．解(1)由已知可得2c2a＝22，1a2＋12b2＝1，a2＝b2＋c2，可得a2＝2，b2＝1，c2＝1，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)设点M(x1，y1)，P(x0，x0＋2)，易知B(0，－1)，A(0,1)，BP→＝(x0，x0＋3)，BM→＝(x1，y1＋1)，由BP→＝3BM→可得3x1＝x0，3y1＋1＝x0＋3，解得x1＝x03，y1＝x03，即点Mx03，x03，因为点M在椭圆C上，则x0322＋x032＝1，可得x20＝6，因此，S△PMA＝S△PAB－S△MAB＝12|AB|·23|x0|＝263.(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝x＋t，其中0t1，则D(0，t)，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君联立y＝x＋t，x2＋2y2＝2，可得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，Δ＝16t2－12(2t2－2)＝24－8t20，由根与系数的关系可得x1＋x2＝－4t3，x1x2＝2t2－23，kNA＝y2－1x2＝x2＋t－1x2，直线NA的方程为y＝x2＋t－1x2x＋1，kMB＝y1＋1x1＝x1＋t＋1x1，直线BM的方程为y＝x1＋t＋1x1x－1，可得y－1y＋1＝x1x2＋t－1x1x1x2＋t＋1x2＝2t2－23＋t－1x12t2－23＋t＋1x2＝2t2－1＋3t－1x12t2－1＋3t＋1x2＝t－1t＋1·2t＋1＋3x12t－1＋3x2＝t－1t＋1·2t＋1＋－4t－3x22t－1＋3x2＝1－t1＋t，解得y＝1t，即点PxP，1t，因此，OD→·OP→＝t·1t＝1.题型二证明问题例2(2023·邵阳模拟)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4.(1)求C的标准方程；(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点．(1)解由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，可知抛物线开口向右．设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p0)，则Fp2，0.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君由题意知AF⊥x轴，则点A的横坐标为p2，将x＝p2代入y2＝2px，可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，得p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)证明由(1)可知A(1,2)，B(1，－2)．设直线l1的方程为x＝my＋1，联立y2＝4x，x＝my＋1，得y2－4my－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.直线AM的方程为y＝y1－2x1－1(x－1)＋2，即y＝4y1＋2(x－1)＋2，令x＝－1，解得y＝2y1－4y1＋2，所以直线AM与准线的交点为－1，2y1－4y1＋2，直线BN的方程为y＝y2＋2x2－1(x－1)－2，即y＝4y2－2(x－1)－2，令x＝－1，解得y＝－2y2－4y2－2.所以直线BN与准线的交点为－1，－2y2－4y2－2，因为2y1－4y1＋2－2y2－4y2－2＝－y1－2y2－2y1＋2y2＋2＝－y1y2－2y1＋y2＋4y1y2＋2y1＋y2＋4＝1，即2y1－4y1＋2＝－2y2－4y2－2，所以直线AM，BN和l相交于一点．思维升华圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．跟踪训练2(2022·宁德模拟)若A－1，－22，B1，22，C(0,1)，D32，12四点中恰有三点在椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上．(1)求椭圆T的方程；(2)动直线y＝22x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.(1)解由于A－1，－22，B1，22两点关于原点对称，必在椭圆上，则1a2＋12b2＝1，且34a2＋14b21，∴(0,1)必在椭圆上，即有1b2＝1，则b＝1，a2＝2，∴椭圆T的方程为x22＋y2＝1.(2)证明设E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立y＝22x＋t，x22＋y2＝1，得x2＋2tx＋t2－1＝0，则x1＋x2＝－2t，x1x2＝t2－1，y1＋y2＝22x1＋t＋22x2＋t＝t，∴M－22t，t2，则kOM＝－22，联立y＝－22x，x22＋y2＝1，则可设P－1，22，Q1，－22，∴|MP|·|MQ|＝1＋12－22t＋1·1＋12·22t＋1＝321－t22，∵|ME|·|MF|＝14|EF|2公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝14(1＋k2EF)(x1－x2)2＝38[(x1＋x2)2－4x1x2]＝321－t22，∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.课时精练1．(2023·晋中模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点P1，22，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且AF→＝2FB→，求|AB|.解(1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b＝c，∵椭圆过点P1，22，∴1a2＋12b2＝1，又a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)∵F(1,0)，设lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程x＝my＋1，x22＋y2＝1，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，∴y1＋y2＝－2mm2＋2，y1y2＝－1m2＋2，∵AF→＝2FB→，∴y1＝－2y2，∴－y2＝－2mm2＋2，－2y22＝－1m2＋2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴22mm2＋22＝1m2＋2，∴m2＝27，∴|AB|＝1＋m2·|y1－y2|＝1＋m2·|－3y2|＝31＋m2·2mm2＋22＝928.2．(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.(1)证明：直线BC∥x轴；(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8.证明(1)由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，设Ay218，y1，By228，y2，所以直线AO的方程为y＝8y1x，由题意可得点C－2，－16y1，设直线AB的方程为x＝my＋2，联立x＝my＋2，y2＝8x，整理可得y2－8my－16＝0，所以y1y2＝－16，可得y2＝－16y1，所以yC＝y2，所以BC∥x轴．(2)因为准线方程为x＝－2，由题意可得E(－2,0)，BE→＝－2－y228，－y2，BF→＝2－y228，－y2，因为BE⊥BF，所以BE→·BF→＝0，即y22＋－2－y2282－y228＝0，解得y22＝－32＋165，x2＝25－4，由(1)可得x1x2＝y21y2264＝16264＝4，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以x1＝25＋4，|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，所以可证||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8.3．(2023·南通调研)在平面直角坐标系Oxy中，已知离心率为12的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，△ABM的面积最大值为23.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AM与定直线x＝t(t2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值．解(1)由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，设M(x1，y1)，显然－b≤y1≤b，△ABM的面积为12·2a·||y1≤ab，因为△ABM的面积最大值为23，所以ab＝23，又因为椭圆的离心率为12，所以ca＝12，于是ab＝23，ca＝12，a2＝b2＋c2⇒a＝2，b＝3，c＝1，所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，B(2,0)，由题意可知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，得x24＋y23＝1，x＝my＋1⇒(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设N(x2，y2)，所以y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君直线AM的方程为y－y1y1＝x－x1x1＋2，把x＝t代入方程中，得y＝t＋2y1x1＋2，所以Tt，t＋2y1x1＋2，于是k0＝t＋2y1x1＋2t－1＝t＋2y1x1＋2t－1，k1＝y1x1＋2，k2＝y2x2－2，因为k1，k0，k2成等差数列，所以2k0＝k1＋k2⇒2·t＋2y1x1＋2t－1＝y1x1＋2＋y2x2－2，化简得t＋5y1x1＋2t－1＝y2x2－2，把x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入，化简得6my1y2＝(t＋5)(y1＋y2)＋(2t－8)y2，把y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4代入，得6mt－43m2＋4＝(2t－8)y2，因为m∈R，所以t－4＝0，2t－8＝0，即t＝4.4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±3x.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1x20，y10.过P且斜率为－3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答