2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.1　直线的方程

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.1直线的方程考试要求1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．知识梳理1．直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则AB→就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1.4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°α90°90°90°α180°k0k0不存在k0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(×)(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(×)(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2)．(√)教材改编题1．已知点A(2,0)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B解析由题意得直线AB的斜率k＝3－03－2＝3，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝3，∵0°≤α180°，∴α＝60°.2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为()A．x＋y＝1B．x－y＝1C．y＝1D．x＝1答案D解析因为直线l的倾斜角为90°，所以该直线无斜率，与x轴垂直，又因为直线l过点(1,1)，所以直线l的方程为x＝1.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－3，1]B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C.－33，1D.－∞，－33∪[1，＋∞)答案B解析如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝3－00－1＝－3；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝1－02－1＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3答案B解析直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．跟踪训练1(1)(2023·温州模拟)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角的最小值是________．答案3π4解析直线可化为y＝－1m2＋1x－m2m2＋1.∵m2≥0，∴m2＋1≥1，则01m2＋1≤1，∴－1≤－1m2＋10.则所求倾斜角的最小值是3π4.(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.答案13－3解析如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝tanθ－tan45°1＋tanθtan45°＝2－11＋2＝13，kOC＝tan(θ＋45°)＝tanθ＋tan45°1－tanθtan45°＝2＋11－2＝－3.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型二求直线的方程例2求符合下列条件的直线方程：(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－14；(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；(3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5.解(1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－14，∴y＋3＝－14(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.(2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2,1)，∴1＝2k，解得k＝12，∴直线方程为y＝12x，即x－2y＝0；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为xa＋yb＝1，由题意可得2a＋1b＝1，a＝2b，解得a＝4，b＝2，∴直线方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0；综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.(3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.∴原点到直线的距离d＝|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34，∴所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.思维升华求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君求出待定系数．跟踪训练2(1)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为()A．5x－2y－5＝0B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0D．2x－5y＋5＝0答案A解析设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，因为A(5，－2)，B(7，3)，所以x＋52＝0，y－22＝m且x＋72＝n，y＋32＝0，解得x＝－5，y＝－3，m＝－52，n＝1，即C(－5，－3)，M0，－52，N(1,0)，所以MN所在直线的方程为y＋5252＝x1，即5x－2y－5＝0.(2)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为()A．y－3＝－32(x＋4)B．y＋3＝32(x－4)C．y－3＝32(x＋4)D．y＋3＝－32(x－4)答案C解析方法一因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l的斜率k＝32，故直线l的方程为y－3＝32(x＋4)．方法二设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则AP→＝(x＋4，y－3)，因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，故直线l的方程为y－3＝32(x＋4)．题型三直线方程的综合应用例3已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．解方法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k0)，则A2－1k，0，B(0,1－2k)，S△AOB＝12(1－2k)·2－1k＝124＋－4k＋－1k≥12×(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法二设直线l：xa＋yb＝1，且a0，b0，因为直线l过点M(2,1)，所以2a＋1b＝1，则1＝2a＋1b≥22ab，故ab≥8，故S△AOB的最小值为12×ab＝12×8＝4，当且仅当2a＝1b＝12时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.延伸探究1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解由本例方法二知，2a＋1b＝1，a0，b0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a＋1b公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝3＋ab＋2ba≥3＋22，当且仅当a＝2＋2，b＝1＋2时，等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y＝2＋2.2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．解方法一由本例方法一知A2－1k，0，B(0,1－2k)(k＜0)．所以|MA|·|MB|＝1k2＋1·4＋4k2＝2×1＋k2|k|＝2－k＋1－k≥4.当且仅当－k＝－1k，即k＝－1时取等号．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.方法二由本例方法二知A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a＋1b＝1.所以|MA|·|MB|＝|MA→|·|MB→|＝－MA→·MB→＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a＋1b－5＝2ba＋ab≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.思维升华直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．跟踪训练3(1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．答案(1，－4)[3，＋∞)解析直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，令x－1＝0，x＋y＋3＝0，解得x＝1，y＝－4，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴直线l过定点(1，－4)，∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3，又直线l不经过第三象限，∴－a＋10，a－3≥0，解得a≥3.(2)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为________．答案x＋y－2＝0解析设直线l的方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，则A(a,0)，B(0，b)，且1a＋1b＝1，则a＋b＝ab，所以|MA|2＋|MB|2＝(a－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b－1)2＝4＋a2＋b2－2(a＋b)＝4＋a2＋b2－2ab＝4＋(a－b)2≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.课时精练