2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.11　圆锥曲线中范围与最值问题

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.11圆锥曲线中范围与最值问题题型一范围问题例1(2023·淄博模拟)已知F(3，0)是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点，点M3，12在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－12(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．解(1)由题意知，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为(－3，0)，根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为3＋32＋12－02＋12＝4，即2a＝4，所以a＝2，又因为c＝3，可得b＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组y＝kx＋m，x24＋y2＝1，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－14k2＋1，所以kOA＋kOB＝y1x1＋y2x2＝kx1＋mx2＋kx2＋mx1x1x2＝2k＋mx1＋x2x1x2＝2k＋－8km24m2－1＝－2km2－1，由kOA＋kOB＝－12，可得m2＝4k＋1，所以k≥－14，又由Δ0，可得16(4k2－m2＋1)0，所以4k2－4k0，解得k0或k1，综上可得，直线l的斜率的取值范围是－14，0∪(1，＋∞)．思维升华圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．跟踪训练1(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.(1)求实数p的值；(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围．解(1)因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，由抛物线的定义知1＋p2＝2，解得p＝2.(2)由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，设Ay214，y1，By224，y2(y1≠0，y2≠0)，设l：x＝ty＋1，联立y2＝4x，x＝ty＋1，得y2－4ty－4＝0，判别式Δ＝16t2＋160，故t∈R，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，设l1：y－y1＝kx－y214，联立方程组y2＝4x，y－y1＝kx－y214，消去x，整理得ky2－4y＋4y1－ky21＝0，所以Δ＝16－4k(4y1－ky21)＝4(4－4ky1＋k2y21)＝0，所以k＝2y1，则l1：y－y1＝2y1x－y214，即y＝2y1x＋y12，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君令x＝0，得M0，y12，同理l2：y＝2y2x＋y22，N0，y22，联立y＝2y1x＋y12，y＝2y2x＋y22，得交点Q的横坐标为xQ＝y1y24＝－1，∴S△QMN＝12|MN|·|xQ|＝12y12－y22×1＝14y1＋y22－4y1y2＝t2＋1≥1，∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞)．题型二最值问题例2(2022·苏州模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)过点(22，1)，渐近线方程为y＝±12x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．解(1)由题设可知8a2－1b2＝1，ba＝12，解得a＝2，b＝1，则C：x24－y2＝1.(2)设点M的横坐标为xM0，当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2；当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋mk≠±12，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x24－y2＝1，y＝kx＋m，整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，整理得4k2＝m2＋1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君联立x24－y2＝0，y＝kx＋m，整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＝0，则x1＋x2＝－8km4k2－1＝－8kmm2＝－8km，则xM＝x1＋x22＝－4km0，即km0，则x2M＝16k2m2＝4＋4m24，即xM2，此时点M到y轴的距离大于2.综上所述，点M到y轴的最小距离为2.思维升华圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练2(2023·临沂模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63，直线x＝2被C截得的线段长为233.(1)求C的方程；(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且AF2—→＝λBF1—→，求四边形ABF1F2面积的最大值．解(1)∵e＝ca＝63，∴c2a2＝23，∴c2＝23a2，∴b2＝a2－c2＝a2－23a2＝13a2，∴椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2，由x2＋3y2＝a2，x＝2⇒y＝±a2－23，由题可知2a2－23＝233，解得a2＝3，∴C：x23＋y2＝1.(2)由AF2—→＝λBF1—→，得AF2∥BF1，如图，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君延长BF1，AF2交椭圆于C，D两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD的面积的一半．由题知，BF1的斜率不为零，故设BF1的方程为x＝my－2，联立x23＋y2＝1，x＝my－2，得(m2＋3)y2－22my－1＝0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵Δ0，∴y1＋y2＝22mm2＋3，y1y2＝－1m2＋3，故|BC|＝1＋m2·|y1－y2|＝23m2＋1m2＋3，O到BF1的距离d＝21＋m2，12ABFFS边四形＝12S四边形ABCD＝12×4S△OBC＝2×12×|BC|·d＝|BC|·d＝23m2＋1m2＋3·2m2＋1＝26·m2＋1m2＋3＝26·m2＋1m2＋1＋2＝26·1m2＋1＋2m2＋1≤26×122＝3，当且仅当m2＋1＝2m2＋1，即m＝±1时取等号，∴当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为3.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君课时精练1．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2，(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知B(0，3)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．解(1)∵a＝1，ca＝2，∴c＝2，b2＝3，∴双曲线C的标准方程为x2－y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点Q(x0，y0)，联立y＝kx＋m，x2－y23＝1，得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，依题意3－k2≠0，Δ＝－2km2－43－k2－m2－30，即3－k2≠0，3＋m2－k20，①由根与系数的关系可得x1＋x2＝2km3－k2，x1·x2＝－m2＋33－k2，则x0＝x1＋x22＝km3－k2，y0＝kx0＋m＝3m3－k2，∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，∴kBQ＝y0－3x0＝3m3－k2－3km3－k2＝－1k，∴3－k2＝433m，②公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又k2＝3－433m0，③由①②③得m－433或0m334.2．(2023·吕梁模拟)已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，且经过点P(6，1)．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为k1，直线OB的斜率为k2，且k1k2＝－13，求OA→·OB→的取值范围．解(1)由题意可得ca＝63，6a2＋1b2＝1，又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝3.所以椭圆C的方程为x29＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋t，联立y＝kx＋t，x29＋y23＝1，消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)0，则x1＋x2＝－6kt1＋3k2，x1x2＝3t2－91＋3k2，又k1k2＝y1y2x1x2＝－13，故y1y2＝－13x1x2且x1x2≠0，即3t2－9≠0，则t2≠3，又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，所以y1y2x1x2＝kx1＋tkx2＋tx1x2＝k2＋ktx1＋x2＋t2x1x2＝k2＋－6k2t21＋3k2＋t23t2－91＋3k2＝t2－9k23t2－9＝－13，整理得2t2＝9k2＋3≥3，则t2≥32且Δ0恒成立．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2－13x1x2＝23x1x2＝23·3t2－91＋3k2＝3·t2－3t2＝31－3t2，又t2≥32，且t2≠3，故31－3t2∈[－3,0)∪(0,3)．当直线l的斜率不存在时，x2＝x1，y2＝－y1，则k1k2＝－y21x21＝－13，又x219＋y213＝1，解得x21＝92，则OA→·OB→＝x21－y21＝23x21＝3.综上，OA→·OB→的取值范围为[－3,0)∪(0,3]．3．(2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为12p2(O为坐标原点)．(1)求抛物线E的方程；(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．解(1)由题意可得m2＝8p，12×p2·|m|＝12p2，解得p＝2.故抛物线E的方程为y2＝4x.(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，易知x1＝ty1＋10，x2＝ty2＋10，联立x＝ty＋1，y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0.所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，联立y－y1＝－tx－x1，y2＝4x，消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0.所以y1＋y3＝－4t，y1y3＝－4tx1－4y1t.所以|AC|＝x1－x32＋y1－y32＝1＋1t2[]y1＋y32－4y1y3公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝1＋1t2·16＋16t2x1＋16ty1t2＝1＋1t2·16＋4t2y21＋16ty1t2＝2t2＋1t2·|ty1＋2|＝2t2＋1t2·(ty1＋2)．同理可得|BD|＝