2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.3　圆的方程

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.3圆的方程考试要求1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)圆心C－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔M在圆内．常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．(×)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.(√)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.(√)教材改编题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)答案B解析由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a0，解得a0或a－2.3．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是()A．(0,2)B．(3,3)C．(－2,2)D．(4,1)答案AD解析由(0－1)2＋(2＋2)2＜25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上，由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4,1)在圆内．题型一圆的方程例1(1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或x－432＋y－732＝659或x－852＋(y－1)2＝16925解析依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0.若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则F＝0，16＋4D＋F＝0，1＋1－D＋E＋F＝0，解得F＝0，D＝－4，E＝－6，满足D2＋E2－4F0，所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则F＝0，16＋4D＋F＝0，16＋4＋4D＋2E＋F＝0，解得F＝0，D＝－4，E＝－2，满足D2＋E2－4F0，所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，则F＝0，1＋1－D＋E＋F＝0，16＋4＋4D＋2E＋F＝0，解得F＝0，D＝－83，E＝－143，满足D2＋E2－4F0，所以圆的方程为x2＋y2－83x－143y＝0，即x－432＋y－732＝659；若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，则1＋1－D＋E＋F＝0，16＋4D＋F＝0，16＋4＋4D＋2E＋F＝0，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解得F＝－165，D＝－165，E＝－2，满足D2＋E2－4F0，所以圆的方程为x2＋y2－165x－2y－165＝0，即x－852＋(y－1)2＝16925.(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析方法一设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2a＋b－1＝0，3－a2＋b2＝r2，a2＋1－b2＝r2，解得a＝1，b＝－1，r2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法二设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M－D2，－E2，∴2·－D2＋－E2－1＝0，9＋3D＋F＝0，1＋E＋F＝0，解得D＝－2，E＝2，F＝－3，∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，则kAB＝1－00－3＝－13，AB的中点坐标为32，12，∴AB的垂直平分线方程为y－12＝3x－32，即3x－y－4＝0.联立3x－y－4＝0，2x＋y－1＝0，解得x＝1，y＝－1，∴M(1，－1)，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.思维升华求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．跟踪训练1(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4答案A解析根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为____________．答案x－652＋y－352＝95解析设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径r＝a－02＋－2a＋3－02＝5a2－12a＋9＝5a－652＋95.当a＝65时，rmin＝355.故所求圆的方程为x－652＋y－352＝95.题型二与圆有关的轨迹问题例2已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，所以由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2(2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝2|PM|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．解(1)设动点P的坐标为(x，y)，因为M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝2|PM|，所以x－22＋y2＝2·x－12＋y2，整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以AQ→＝2QB→，即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)，解得xA＝3x－12，yA＝3y，又点A在轨迹C上运动，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝29，即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝29.题型三与圆有关的最值问题命题点1利用几何性质求最值例3(2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆．设yx＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k|1＋k2＝3，解得k2＝3，∴kmax＝3，kmin＝－3.∴yxmax＝3，yxmin＝－3.(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－6.(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－43.命题点2利用函数求最值公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君例4(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则PA→·PB→的最大值为________．答案12解析由题意，得PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA→·PB→＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤